Đặt \(p=\frac{a+b+c}{2}\)\(\Rightarrow b+c-a=2\left(p-a\right);a+c-b=2\left(p-b\right);a+b-c=2\left(p-c\right)\)
Ta có : \(\sqrt{p-a}.\sqrt{p-b}\le\frac{p-a+p-b}{2}=\frac{c}{2}\left(1\right)\)
Tương tự : \(\sqrt{p-b}.\sqrt{p-c}\le\frac{a}{2}\left(2\right)\); \(\sqrt{p-c}.\sqrt{p-a}\le\frac{b}{2}\left(3\right)\)
Nhân (1) , (2) , (3) theo vế được : \(\left(p-a\right).\left(p-b\right).\left(p-c\right)\le\frac{abc}{8}\Rightarrow\frac{abc}{2\left(p-a\right).2\left(p-b\right).2\left(p-c\right)}\ge1\Rightarrow\frac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}\ge1\)Vậy \(MinQ=1\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow\)Tam giác đó là tam giác đều.
Do a,b,c là ba cạnh của tam giác nên ta có : a + b - c > 0; a +c-b>0; b+c-a>0
ta có: \(\sqrt{a+b-c}.\sqrt{a+c-b}=\sqrt{a^2-\left(b-c\right)^2}\le\sqrt{a^2}=a\left(1\right).\\ \)
tương tự ta có : \(\sqrt{b+c-a}.\sqrt{a+b-c}\le b.\left(2\right)\)
\(\sqrt{a+c-b}.\sqrt{b+c-a}\le c\left(3\right).\)
Nhân vế với vế của (1) (2) và (3) ta được : \(\left(b+c-a\right).\left(a+c-b\right).\left(a+b-c\right)\le abc.\)
=>\(\frac{abc}{\left(b+c-a\right).\left(a+c-b\right).\left(a+b-c\right)}\ge\frac{abc}{abc}=1\)
Vậy Qmin = 1 khi a = b = c .
