Question

a, b, c > 0; a + b + c = 1. CM: \(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

 

Answer 1

Áp dụng BĐT Bunhiakovsky:

\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

\(\ge\sqrt{\left(\sqrt{a}.\sqrt{a}+\sqrt{b}.\sqrt{c}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\)   (1)

Tương tự:  \(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca}\)   (2)

và:   \(\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)   (3)

Cộng (1), (2) và (3), kết hợp với a+b+c=1 ta có đpcm.

Đẳng thức xảy ra   \(\Leftrightarrow\)  ...   \(\Leftrightarrow\)   \(a=b=c=\frac{1}{3}\)