Ta chứng minh
\(\sqrt{a+bc}\ge1a+\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)
\(\Leftrightarrow a\left(1-a-2\sqrt{bc}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c-2\sqrt{bc}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(đúng)
Từ đây ta suy ra được
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Một cách chứng minh rất sáng tạo ko lệ thuộc vào cách truyền thống. Cho bn 1 k
Cách khác: Áp dụng BĐT Huygens ta có:
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
\(\ge a+\sqrt{bc}\). Thiết lập 2 BĐT tương tự là:
\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ac};\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên có:
\(VT\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}+a+b+c=VP\) (vì a+b+c=1)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
PHạm Thanh Phu
BĐT Huygens là bất đẳng thức Huygens đó bạn, còn định lí của bất đẳng thức đó như thế nào thì mình ko biết, bạn search Google thử xem 😊
Mình rất cần những bạn tốt bụng cho mình 👍 nhé!! Thanks các bạn trước 😘
