Question

A = 3¹ + 3² + 3³ + 3 ^4....... 3¹⁰⁰

Chứng minh A đều chia hết cho 12

Answer 1

\(A=3^1+3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\)

Ta thấy tất cả các số hạng của A đều chia hết cho 3

nên  \(A⋮3\) (1)

\(A=3^1+3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\)

\(=\left(3^1+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{99}+3^{100}\right)\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{99}\left(1+3\right)\)

\(=\left(1+3\right)\left(3+3^3+...+3^{99}\right)\)

\(=4\left(3+3^3+...+3^{99}\right)\)\(⋮\)\(4\)

\(\Rightarrow\)\(A⋮4\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \(A⋮12\)  (do (3;4) = 1)

Answer 2

Ta có \(A=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\)

\(A=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{99}+3^{100}\right)\)

\(A=\left(3+3^2\right).1+3^2.\left(3+3^2\right)+...+3^{98}.\left(3+3^2\right)\)

\(A=\left(3+3^2\right).\left(1+3^2+...+3^{98}\right)\)

\(A=12.\left(1+3^2+...+3^{98}\right)⋮12\)

Vậy A chia hết cho 12