Question

A = 1 + 2 + 2\(^2\)+ ... + 2\(^{2009}\)+ 2\(^{2010}\).   tìm số dư khi chia A cho 7

Answer 1

A = 1 + 2 + 2² + ... + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰

= ( 1 + 2 + 2² ) + ( 2³ + 2⁴ + 2⁵ ) + ... + ( 2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰ )

= 7 + 2³( 1 + 2 + 2² ) + ... + 2²⁰⁰⁸( 1 + 2 + 2² )

= 7 + 2³.7 + ... + 2²⁰⁰⁸.7

= 7( 1 + 2³ + ... + 2²⁰⁰⁸ ) chia hết cho 7

hay A chia 7 dư 0

Answer 2

Ta có A  = 1 + 2 + 2² + ... + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰

=> A - 3 = 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + .... +  2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰

             = (2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷) + .... +  (2²⁰⁰⁸ + 2²⁰⁰⁹ + 2²⁰¹⁰)

             = 2²(1 + 2 + 2²) + 2⁵(1 + 2 + 2²) + ... + 2²⁰⁰⁸(1 + 2 + 2²)

             = (1 + 2 + 2²)(2² + 2⁵ + ... + 2²⁰⁰⁸) 

             = 7(2² + 2⁵ + ... + 2²⁰⁰⁸) \(⋮\)7

Vì \(A-3⋮7\)

=> A : 7 dư 3

Vậy A : 7 dư 3