Chào mọi người, mình là Minh đây. Mình hôm nay sẽ chia sẻ tiếp cho các bạn những kiến thức liên quan đến kỳ thi chuyên đây.
Ở phần trước, mình cũng đã nói về phần Phương trình - Hệ phương trình rồi.
Bạn có thể tham khảo tại đây:
https://hoc24.vn/cau-hoi/hello-moi-nguoi-minh-la-binh-minh-moi-nguoi-tren-web-hay-goi-minh-la-san-sai-sun-rang-etc-noi-chung-la-moi-nguoi-co-the-goi-minh-la-gi-cung-d.8359703531873.
Thì hôm nay mình sẽ nói về phần thứ 2 của kỳ thi chuyên là phần Số học.
Phần số thì chia ra 4 phần:
- Lý thuyết chia hết trên tập nguyên
- Số chính phương
- Số nguyên tố, hợp số
- Phương trình nghiệm nguyên.
Hôm nay mình sẽ đi vào 2 phần đầu tiên của phần này:
Phần đầu tiên mà mình muốn nói là phần lý thuyết chia hết trên tập nguyên.
Một số tính chất quan trọng:
`a vdots b, b vdots c <=> a vdots c`.
`a vdots b, b vdots a <=> a = +-b`
`a.b vdots m mà (m,b)=1 <=> a vdots m`
`a vdots m, b vdots m -> (a+-b) vdots m`
`a vdots b, c vdots d <=> ac vdots bd`
Trong `n` số nguyên liên tiếp tồn tại 1 số tự nhiên chia hết cho `n`.
`a^n-b^n vdots a-b`
`a^n+b^n vdots a+b` nếu `n` không chia hết cho `2.`
Bằng cách vận dụng các tính chất này và sử dụng các biến đổi tương đương thì khả năng cao là bạn sẽ giải được dạng này thôi ạ.
Ví dụ cho dạng này:
Chứng minh tích 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.
Chứng minh `n(n^2+11) vdots 6, mn(m^2-n^2) vdots 6, n(n+1)(2n+1) vdots 6`.
Chứng minh `ax^2+bx+c in ZZ, forall x in ZZ` khi và chỉ khi `2a,a+ b, c in ZZ`.
Chứng minh `20^n+16^n -3^n-1 vdots 323`.
Tìm `x,y` nguyên dương sao cho `x+3 vdots y` và `y+3 vdots x`.
Tiếp theo là về số chính phương.
Các tính chất bạn cần phải nắm chắc:
Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9. Số chính phương không thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3.
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn.
Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2.
Số chính phương chia hết cho p(p nguyên tố) thì chia hết cho `p^2`.
Số chính phương lẻ chia 8 dư 1.
Số chính phương chia 3, 4 dư 0,1; chia 5 dư 0, 1, 4.
`n^2<k<(n+1)^2` thì `k` không là số chính phương.
`a.b` chính phương, `a` chính phương thì `b` chính phương.
Vận dụng các tính chất trên, các bạn hãy thử sức với những câu sau:
Cho:
Cho `B =1.2.3 2.3.4 ... k.(k+1).(k+ 2)` với k là số tự nhiên. Chứng minh
rằng `4B + 1` là số chính phương.
Tìm `x` nguyên dương để `4x^3+14x^2+9x-6` là số chính phương
Tìm `n in NN` để `n^2+17` là số chính phương
Tìm `p, q` nguyên tố biết `p+q` và `p+4q` chính phương.
Cho số tự nhiên `n >= 2` và số nguyên tố p thỏa mãn `p -1` chia hết cho `n` đồng thời `n ^3-1` chia hết cho `p`. Chứng minh rằng `n +p` là một số chính phương.
Okay, bữa nay mình đi đến đây thôi, có lẽ hẹn mọi người vào những buổi tiếp theo. Chào mọi người, chúc mọi người buổi tối vui vẻ.
P/s: Ai có ý tưởng hay làm được bài thì đăng lời giải vào đây nhaaa, mình sẽ nhờ CTVVIP hoặc giáo viên tick cho nhé.
Nếu các bạn vẫn còn vài điều băn khoăn hay muốn hỏi trực tiếp để xin tài liệu ôn thi chuyên Toán thì nhắn với tớ qua: Facebook: https://www.facebook.com/stfu.calcius/ nha!
