Question

(3+3²+3³+3⁴+...+3⁹⁹+3¹⁰⁰) Chia hết cho 120

(36³⁶-9¹⁰) chia hết cho 45

(7¹⁰⁰⁰-3¹⁰⁰⁰)Chia hết cho 10

Answer 1

Chứng minh \(S=3+3^2+...+3^{100}⋮120\)

Ta có \(S=\left(3+3^2+3^3+3^4\right)+...+\left(3^{97}+3^{98}+3^{99}+3^{100}\right)=120+...+3^{96}.120⋮120\)

Vậy \(S=3+3^2+...+3^{100}⋮120\)

Chứng minh \(P=36^{36}-9^{10}⋮45\)

Cái này dùng đồng dư thức

\(P=36^{36}-9^{10}\equiv1-4^{10}\equiv1-16^5\equiv1-10\equiv0\left(mod5\right)\)

Mà dễ thấy P chia hết cho 9 và \(\left(9;5\right)=1\)

Vậy P chia hết cho 45

Chứng minh \(M=7^{1000}-3^{1000}⋮10\)

Ta có \(M=7^{1000}-3^{1000}=\left(2401\right)^{250}-\left(81\right)^{250}\equiv1-1\equiv0\left(mod10\right)\)

Vậy M chia hết cho 10