Question

\(2^1+2^2+.....+2^{2016}\)

chứng minh rằng nó chia hết cho3 và 7

Answer 1

Ta có: 2¹ + 2² + ....+ 2²⁰¹⁶

=> ( 2¹+2²)+(2³+2⁴)+....+(2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶)

=>  2.(1+2)+2³.(1+2)+....+2²⁰¹⁵.(1+2)

=>  2.3 + 2³.3+...+2²⁰¹⁵.3

=> 3.(2+2³+....+2²⁰¹⁵) chia hết cho 3

Vậy 2¹+2²+...+2²⁰¹⁶ chia hết cho 3

Ta lại có: 2¹+2²+...+2²⁰¹⁶

=> (2¹+2²+2³)+(2⁴+2⁵+2⁶)+....+(2²⁰¹⁴+2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁶)

=> 2¹.(1+2+2²)+2⁴.(1+2+2²)+....+2²⁰¹⁴.(1+2+2²)

=> 2¹.7+2⁴.7+....+2²⁰¹⁴.7

=> 7.(2¹+2⁴+...+2²⁰¹⁴) chia hết cho 7

Vậy 2¹+2²+...+2²⁰¹⁶ chia hết cho 7

Answer 2

Đặt tổng trên là A.

2A =     2² + 2³ +...+ 2²⁰¹⁶ + 2²⁰¹⁷ 

 A = 2 +2² + 2³ +...+ 2²⁰¹⁶

2A - A = 2²⁰¹⁷ - 2 => A = 2²⁰¹⁷ - 2 = 2.(2²⁰¹⁶ - 1)

+) 2²⁰¹⁶ = (2²)¹⁰⁰⁸ = 4¹⁰⁰⁸. Vì 4 chia 3 dư 1 nên 4¹⁰⁰⁸ chia 3 dư 1 => 2²⁰¹⁶ - 1 chia hết cho 3

+) 2²⁰¹⁶ = (2³)⁶⁷² = 8⁶⁷². Vì 8 chia 7 dư 1 nên 8⁶⁷² chia 7 dư 1 => 2²⁰¹⁶ - 1 chia hết cho 7

Vậy A chia hết cho 3 và 7