Question

1/Tìm giá trị nhỏ nhất:

\(A=\frac{3}{2x-x^2-4}\)

2/Chứng minh rằng:

\(a^2+4b^2+4c^2+4ac\ge4ab+8bc\)

Answer 1

1)Ta có : \(A=\frac{3}{2x-x^2-4}\Leftrightarrow A=\frac{3}{-\left(x^2-2x+1\right)-3}\)\(\Leftrightarrow A=\frac{3}{-\left(x-1\right)^2-3}\)

Vì \(-\left(x-1\right)^2\le0\)nên \(-\left(x-1\right)^2-3\le-3\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{3}{-\left(x-1\right)^2-3}\ge\frac{3}{-3}=-1\)

Vậy \(GTLN\left(A\right)=-1\) khi \(x=1\)

2)Ta có : \(a^2+4b^2+4c^2+4ac=\left(a^2+4c^2+4ac\right)+4b^2\)

                                                          \(=\left(a+2c\right)^2+\left(2b\right)^2\)                       \(\left(1\right)\)

Vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\)nên\(a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)

Áp dụng BĐT vào (1) ta có \(\left(a+2c\right)^2+\left(2b\right)^2\ge2.\left(2b\right).\left(a+2c\right)=4b\left(a+2c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+4b^2+4c^2+4ac\ge4ab+8bc\)