1)chứng minh rằng
\(\frac{1}{2^2}\) + \(\frac{1}{3^2}\) + \(\frac{1}{4^2}\) + ......+ \(\frac{1}{100^2}\) <1
2)tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên:
B=\(\frac{2n+2}{n+2}\) + \(\frac{5n+17}{n+2}\) - \(\frac{3n}{n+2}\)
3)tìm x,ysao cho:C=x1995y chia hết cho 55
anh alibaba nguyễn giúp em với
1 ) Ta có :
\(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}=1-\frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\)
\(..........\)
\(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}< 1\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\) (đpcm)
Ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)
=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)
Mà \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}< 1\)
=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\)
\(B=\frac{2n+2}{n+2}+\frac{5n+7}{n+2}-\frac{3n}{n+2}=\frac{\left(2n+2\right)+\left(5n+7\right)-3n}{n+2}=\frac{4n+9}{n+2}=4+\frac{1}{n+2}\)
Để \(4+\frac{1}{n+2}\) lầ số tự nhiên <=> \(\frac{1}{n+2}\) là số tự nhiên
=> n + 2 thuộc Ư(1) = { - 1; 1 }
Ta có : n + 2 = - 1 => n = - 1 - 2 = - 3 => B = 3 (tm)
n + 2 = 1 => n = 1 - 2 = - 1 => B = 5 (tm)
Vậy n = { - 3; - 1 }
B = \(\frac{2n+2}{n+2}+\frac{5n+17}{n+2}-\frac{3n}{n+2}=\frac{2n+2+\left(5n+17\right)-3n}{n+2}=\frac{2n+2+5n+17-3n}{n+2}=\frac{4n+19}{n+2}=\frac{4n+8+11}{n+2}=\frac{4\left(n+2\right)+11}{n+2}=4+\frac{11}{n+2}\)Để B là số tự nhiên <=> n + 2 thuộc Ư(11) = {1;11}
| n + 2 | 1 | 11 |
| n | -3 | 9 |
Vì n thuộc N nên n = 9
Vậy để B là số tự nhiên thì n = 9
