1) Từ \(x+y+z=6\) và \(x^2+y^2+z^2=12\)ta dễ dàng suy ra \(xy+yz+zx=12\)
Như vậy \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+zx\) \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Mà \(x+y+z=6\)nên \(x=y=z=2\)thay vào Q ta tính được Q = 3.
Bài dưới mình có làm ra được 2 cách, bạn hiểu cách nào thì làm
Cách 1: Dùng phương pháp quy nạp (cách này mình cũng không biết được sử dụng trong trg hợp này ko)
-Với n=1 thì \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)-1=2^2\left(2^3-1\right)-1=4.8-1=27\)chia hết cho 9
Vậy mệnh đề đúng với n=1
-Giả sử tồn tại số k sao cho \(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)-1\) chia hết cho 9 (giả thiết quy nạp). Do đó, \(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 1
Ta phải cm mệnh đề cũng đúng với k+1:
Thật vậy, \(2^{2\left(k+1\right)}\left(2^{2\left(k+1\right)+1}-1\right)-1=2^{2k+2}\left(2^{2k+3}-1\right)-1=2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-\frac{1}{4}\right)-1\)
<=> \(2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-1\right)+\frac{3}{4}\left(2^{2k+4}\right)-1=2^{2k}.16.\left(2^{2k+1}-1\right)+3.2^{2k+2}-1\)
Ta thấy:
\(2^{2k}\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 1. Do đó, \(2^{2k}.16.\left(2^{2k+1}-1\right)\)chia 9 dư 7.
Các số có cơ số =2, số mũ lẻ thì tích của số đó với 3 khi chia 9 dư 6. Còn các số có cơ số =2, số mũ chẵn thì tích của số đó với 3 khi 9 dư 3. Vậy tích \(3.2^{2k+2}\) chia 9 dư 3
-1 chia 9 dư -1
Vậy \(2^{2k+4}\left(2^{2k+1}-1\right)+3.2^{2k+2}-1\)chia 9 dư 7+3-1=9 chia hết cho 9
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi n thuộc Z
Cách 2: Dùng các dấu hiệu chia hết
-Ta có (Các TH giành cho 2^(2n+1) )
+2^1; 2^7; 2^13;... tức là các số có cơ số =2, số mũ chia 6 dư 1 thì chúng chia 9 dư 2 -> 2^(2n+1)-1 chia 9 dư 1 (1)
+2^3; 2^9;2^15;.... tức là các số có cơ số =2; số mũ chia 6 dư 3 thì chúng chia 9 dư 8 -> 2^(2n+1)-1 chia 9 dư 7 (2)
+2^5;2^11;2^17;... tức là các số có cơ số =2; số mũ chia 6 dư 5 thì chúng chia 9 dư 5 -> 2^(2n+1)-1 chia 9 dư 4 (3)
Tương ứng: (Các TH giành cho 2^2n)
+2^0;2^6;2^12;... tức là các số có cơ số =2; số mũ chia hết cho 6 thì chúng chia 9 dư 1 (1')
+2^2;2^8;2^14;... tức là các số có cơ số =2; số mũ chia 6 dư 2 thì chúng chia 9 dư 4 (2')
+2^4;2^10;2^16;... tức là các số có cơ số =2; số mũ chia 6 dư 4 thì chúng chia 9 dư 7 (3')
Từ (1'),(1) suy ra tích \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)\)chia 9 dư 1.1=1. => \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)-1\)chia hết cho 9
Từ (2'),(2) suy ra tích \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)\)chia 9 dư 7.4=28 thì dư 1. => \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)-1\)chia hết cho 9
Từ (3'),(3) suy ra tích \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)\)chia 9 dư 4.7=28 thì dư 1 => \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)-1\)chia hết cho 9
Vậy \(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)-1\)luôn chia hết cho 9
