Ôn tập: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lưu Phương Thảo

1.cho a,b,c>0,abc=1

tìm Max P= \(\dfrac{1}{2a+3b+c+6}+\dfrac{1}{2b+3c+a+6}+\dfrac{1}{2c+3a+b+6}\)

2.Tìm số tự nhiên n để

a. A= n^3-n^2+n-1 là số nguyên tố

b.n^5-n+2 là số chính phương

Hung nguyen
12 tháng 4 2017 lúc 16:46

Giải câu 1 thôi câu 2 không hứng lắm:

\(P=\dfrac{1}{2a+3b+c+6}+\dfrac{1}{2b+3c+a+6}+\dfrac{1}{2c+3a+b+6}\)

Ta có:

\(\dfrac{1}{2a+3b+c+6}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{b+2}\right)=\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{2}{b+2}\right)\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2b+3c+a+6}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{2}{c+2}\right)\left(2\right)\\\dfrac{1}{2c+3a+b+6}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{c+2}+\dfrac{2}{a+2}\right)\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:

\(P\le\dfrac{3}{16}\left(\dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)\)

\(\le\dfrac{3}{16.3\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{3}{16}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)\)

\(=\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)\left(4\right)\)

Giờ ta tính Max của \(Q=\left(\dfrac{1}{a+2}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+2}\right)\)

\(abc=1\) nên không mất tính tổng quát ta giả sử \(\left\{{}\begin{matrix}ab\le1\\c\ge1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(Q=\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{\dfrac{a}{2}+2}+\dfrac{1}{\dfrac{b}{2}+2}\right)+\dfrac{1}{c+2}\)

Ta có bổ đề: Với \(x,y>0;xy\le1\) thì

\(\dfrac{1}{x^2+1}+\dfrac{1}{y^2+1}\le\dfrac{2}{xy+1}\)

Áp dụng vào bài toán ta được:

\(Q\le\dfrac{2}{1+\dfrac{\sqrt{ab}}{2}}+\dfrac{1}{c+2}=\dfrac{2\sqrt{c}}{2\sqrt{c}+1}+\dfrac{1}{c+2}\)

Xét hàm số \(f\left(\sqrt{c}\right)=\dfrac{2\sqrt{c}}{2\sqrt{c}+1}+\dfrac{1}{c+2}\) với \(\sqrt{c}\ge1\) thì hàm số \(f\left(\sqrt{c}\right)\) nghịch biến. Vậy Q đạt GTLN khi c bé nhất.

\(\Rightarrow Q\le f\left(1\right)=1\left(2\right)\)

Từ (4) và (5) ta suy ra

\(P\le\dfrac{1}{16}+\dfrac{3}{16}.1=\dfrac{1}{4}\)

Vậy GTLN là \(P=\dfrac{1}{4}\) đạt được khi \(a=b=c=1\)

soyeon_Tiểubàng giải
12 tháng 4 2017 lúc 17:54

2) A = n3 - n2 + n - 1

A = n2(n - 1) + (n - 1)

A = (n - 1)(n2 + 1)

Để A nguyên tố thì n > 1

=> n2 + 1 > 1

Mà A = (n - 1)(n2 + 1) là số nguyên tố, chỉ gồm 2 ước là 1 và chính nó

Nên A = n2 + 1; n - 1 = 1

=> n = 2 (TM)

b) n5 - n + 2

= n(n4 - 1) + 2

= n(n2 - 1)(n2 + 1) + 2

= n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) + 2

n(n - 1)(n + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp do n \(\in N\) nên n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 3

=> n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) + 2 chia 3 dư 2, không là số chính phương

Vậy ...


Các câu hỏi tương tự
Nghịch Dư Thủy
Xem chi tiết
Phan Cả Phát
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Liên minh
Xem chi tiết
Team Liên Quân
Xem chi tiết
Phạm Phương Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Speed Max
Xem chi tiết