Question

1.Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác:

CMR: \(a^2+b^2+c^2\leq2(ab+bc+ac)\)
2.CMR: \((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)\geq-1\)

3.CMR:\(a^4+b^4+c^4\geq abc( a+b+c)\)

Answer 1

1. Không có dấu "=" em nhé.

Vì $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác thì:

$a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac$

$b< a+c\Rightarrow b^2< ba+bc$

$c< a+b\Rightarrow c^2< ca+cb$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ac)$ 

Ta có đpcm. 

Answer 2

2.

$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$

$=(x-1)(x-4)(x-2)(x-3)$

$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)$

$=(x^2-5x+4)(x^2-5x+4+2)$

$=(x^2-5x+4)^2+2(x^2-5x+4)$

$=(x^2-5x+4)^2+2(x^2-5x+4)+1-1$

$=(x^2-5x+5)^2-1\geq 0-1=-1$ do $(x^2-5x+5)^2\geq 0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$

Vậy ta có đpcm.

Answer 3

3.

Áp dụng BĐT Cô-si:

$a^4+b^4\geq 2a^2b^2$

$b^4+c^4\geq 2b^2c^2$

$c^4+a^4\geq 2c^2a^2$

Cộng theo vế và thu gọn thì:

$a^4+b^4+c^4\geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2(*)$
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

$a^2b^2+b^2c^2\geq 2|ab^2c|\geq 2ab^2c$

$b^2c^2+c^2a^2\geq 2abc^2$

$a^2b^2+c^2a^2\geq 2a^2bc$

Cộng theo vế và thu gọn:

$\Rightarrow a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq abc(a+b+c)(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq abc(a+b+c)$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$