Question

1)Cho a,b, c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng; a² + b² + c² + 2abc < 2.

2) với a, b, c>0. CMR: 

a) ( a+ b+c)(\(\frac{1}{a}\)+ \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)) >= 9

b) \(\frac{a}{b+c}\)+\(\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)>=\(\frac{3}{2}\)

 

Answer 1

2.

a, Có : (a+b+c).(1/a+1/b+1/c)

>= \(3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

   = 9

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0

Answer 2

2.

b, Xét : 2(a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9 ( theo bđt ở câu a đã c/m )

<=> (a+b+c).(1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) >= 9/2

<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b + 3 >= 9/2

<=> a/b+c + b/c+a + c/a+b >= 9/3 - 3 = 3/2

=> ĐPCM

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0

Answer 3

1) Tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a,b,c và có chu vi là 2 

\(\Rightarrow a+b+c=2\)

Trong một tam giác ta có: 

\(a< b+c\)

\(\Rightarrow a+a< a+b+c\)

\(\Rightarrow2a< 2\Rightarrow a< 1\)

Tương tự ta  cũng có : b < 1 và c < 1 

\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)

\(\Rightarrow\left(1-b-a+ab\right)\left(1-c\right)>0\)

\(\Rightarrow1-c-b+bc-a+ac+ab-abc>0\)

\(\Rightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca>abc\)

Nên abc < -1 + ab + bc + ca 

\(\Rightarrow2abc< -2+2ab+2bc+2ac\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2-2+2ab+2ac+2bc\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2-2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2++c^2+2abc< 2^2-2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2\left(đpcm\right)\)