Đề bài ra khi chia tử và mẫu ta được số \(0\) \(abc\) nên phân số có dạng:
\(\dfrac{abc}{999}\)
Ta có:
\(\dfrac{abc}{999}=\dfrac{abc}{3^3.37}=\dfrac{abc.37^2}{\left(3.37\right)^2}\)
Vì phân số này bằng lập phương của phân số khác nên \(abc.37^2\)
\(=\left(d.37\right)^3\Rightarrow abc=37d^3\)
Mặt \(\ne\) \(0< abc< 999\Rightarrow37d^3< 999\Rightarrow d^3< 27\)
\(\Leftrightarrow d=3\)
Với \(d=1\) thì \(abc=037\Rightarrow\) phân số cần tìm là: \(\dfrac{037}{999}=\dfrac{1}{27}\)
Với \(d=2\) thi \(abc=296\Rightarrow\) phân số cần tìm là: \(\dfrac{296}{999}=\dfrac{8}{27}\)
Không mất tổng quát, giả sử cả tử và mẫu của phân số cần tìm đều dương.
Gọi phân số đó là \(\dfrac{m}{n}\) với \(m,n\inℕ^∗\), \(m< n\) và \(ƯCLN\left(m,n\right)=1\).
Theo đề bài, ta có: \(\dfrac{m}{n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^3\) (với \(a< b\inℕ^∗\) và \(ƯCLN\left(a,b\right)=1\))
Và \(\dfrac{m}{n}=0,\overline{xyzxyzxyz...}\) \(=\dfrac{x}{10^1}+\dfrac{y}{10^2}+\dfrac{z}{10^3}+\dfrac{x}{10^4}+...\)
\(=x\left(\dfrac{1}{10^1}+\dfrac{1}{10^4}+...\right)+y\left(\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^5}+...\right)+z\left(\dfrac{1}{10^3}+\dfrac{1}{10^6}+...\right)\)
Ta sẽ rút gọn tổng \(S_1=\dfrac{1}{10^1}+\dfrac{1}{10^4}+...\)
Có \(1000S_1=100+\dfrac{1}{10^1}+...\)
\(\Rightarrow999S_1=100\) \(\Rightarrow S_1=\dfrac{100}{999}\)
Có \(S_2=\dfrac{1}{10^2}+\dfrac{1}{10^5}+...\)
\(\Rightarrow1000S_2=10+\dfrac{1}{10^2}+...\)
\(\Rightarrow999S_2=10\Rightarrow S_2=\dfrac{10}{999}\)
Lại có \(S_3=\dfrac{1}{10^3}+\dfrac{1}{10^6}+...\)
\(\Rightarrow1000S_3=1+\dfrac{1}{10^3}+...\)
\(\Rightarrow999S_3=1\Rightarrow S_3=\dfrac{1}{999}\)
Từ đó ta có \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{100x+10y+z}{999}=\dfrac{\overline{xyz}}{999}\), suy ra \(\overline{xyz}< 999\)
Vì \(999=3^3.37\) nên để phân số có thể viết thành lập phương của 1 phân số khác thì \(\overline{xyz}⋮37\). Gọi phân số sau khi rút gọn \(\dfrac{m}{n}\) cho 37 là \(\dfrac{k}{27}\). Khi đó vì \(k\) là 1 lập phương đúng của 1 số nguyên nhỏ hơn 27 nên \(k\in\left\{1,8\right\}\). Thử lại, cả 2 trường hợp đều thỏa mãn.
Vậy các phân số cần tìm là \(\dfrac{1}{27}\) và \(\dfrac{8}{27}\).
