Question

11. Tìm các số tự nhiên x;y thỏa mãn 3^x -2^y = 1
 

Answer 1

Lời giải:

Nếu $y=0$ thì $3^x=2^y+1=2$ (vô lý)

Nếu $y=1$ thì $3^x=2^y+1=3\Rightarrow x=1$ 

Nếu $y\geq 2$ thì $3^x=2^y+1\equiv 1\pmod 4$

Mà $3^x\equiv (-1)^x\pmod 4$

$\Rightarrow (-1)^x\equiv 1\pmod 4$

$\Rightarrow x$ chẵn. Đặt $x=2k$ thì:

$2^y=3^x-1=3^{2k}-1=(3^k-1)(3^k+1)$

$\Rightarrow$ tồn tại $n>m >0$ tự nhiên sao cho $3^k-1=2^m; 3^k+1=2^n$ với $m+n=y$

$\Rightarrow 2^n-2^m=2$. 

$\Rightarrow 2^{n-1}-2^{m-1}=1$

$\Rightarrow 2^{m-1}$ lẻ 

$\Rightarrow m=1\Rightarrow n=2$

$\Rightarrow y=m+n=3$

$3^x=1+2^y=1+2^3=9\Rightarrow x=2$

Vậy $(x,y)=(2,3), (1,1)$