Question

(1,0 điểm) Với các số $a,b,c>0$ và thỏa mãn $a+b+c=1$.

Chứng minh: 

$\displaystyle \frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{1+9a^2} \ge \frac{1}{2}$.

Answer 1

Ta có: \(\dfrac{a}{1+9b^2}=a-\dfrac{9ab^2}{1+9b^2}\ge a-\dfrac{3ab}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(\text{Σ}\dfrac{a}{1+9b^2}\ge a+b+c-\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}\ge a+b+c-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)

(Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương, ta có:

\(\text{ }ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\Rightarrow3\left(\text{ }ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\))

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Answer 2

\(\)