Câu hỏi của Trịnh Hoàng Đông Giang

Question

1. với p là số nguyên tố p>3 CMR: p2 -1 chia het cho 242.CMR: a.32n+1 + 22n+2 chia het cho 7           b. mn(m4-n4) chia hết cho 30

Phước Nguyễn · Accepted Answer

$2b.$  Với mọi  $m;n\in Z$, ta có:$mn\left(m^4-n^4\right)=mn\left[\left(m^4-1\right)-\left(n^4-1\right)\right]=mn\left(m^4-1\right)-mn\left(n^4-1\right)$$\text{*)}$ Xét  $mn\left(m^4-1\right)=mn\left(m^2-1\right)\left(m^2+1\right)$                                         $=mn\left(m^2-1\right)\left[\left(m^2-4\right)+5\right]$                                         $=mn\left(m^2-1\right)\left(m^2-4\right)+5mn\left(m^2-1\right)$             $mn\left(m^4-1\right)=mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)+5mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)$Vì  $m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)$  là tích của  $5$  số nguyên liên tiếp nên $m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)$  chia hết cho  $2;3$  và  $5$ Mà $\left(2;3;5\right)=1$  Do đó,  $m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)$  chia hết cho  $2.3.5=30$  $\left(1\right)$Mặt khác,  $m\left(m-1\right)\left(m+1\right)$  chia hết cho  $6$  (tích của  $3$  số nguyên liên tiếp)         nên  $5mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)$  chia hết cho  $30$  $\left(2\right)$Từ  $\left(1\right)$  và  $\left(2\right)$ , suy ra  $mn\left(m^4-1\right)$  chia hết cho  $30$  $\left(\text{*}\right)$Tương tự, ta cũng chứng minh $mn\left(n^4-1\right)$  chia hết cho cho  $30$  $\left(\text{**}\right)$Từ  $\left(\text{*}\right)$  và  $\left(\text{**}\right)$  suy ra  $mn\left(m^4-n^4\right)$  chia hết cho  $30$  với mọi  $m;n\in Z$ Câu trả lời: $2b.$  Với mọi  $m;n\in Z$, ta có:$mn\left(m^4-n^4\right)=mn\left[\left(m^4-1\right)-\left(n^4-1\right)\right]=mn\left(m^4-1\right)-mn\left(n^4-1\right)$$\text{*)}$ Xét  $mn\left(m^4-1\right)=mn\left(m^2-1\right)\left(m^2+1\right)$                                         $=mn\left(m^2-1\right)\left[\left(m^2-4\right)+5\right]$                                         $=mn\left(m^2-1\right)\left(m^2-4\right)+5mn\left(m^2-1\right)$             $mn\left(m^4-1\right)=mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)+5mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)$Vì  $m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)$  là tích của  $5$  số nguyên liên tiếp nên $m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)$  chia hết cho  $2;3$  và  $5$ Mà $\left(2;3;5\right)=1$  Do đó,  $m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)$  chia hết cho  $2.3.5=30$  $\left(1\right)$Mặt khác,  $m\left(m-1\right)\left(m+1\right)$  chia hết cho  $6$  (tích của  $3$  số nguyên liên tiếp)         nên  $5mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)$  chia hết cho  $30$  $\left(2\right)$Từ  $\left(1\right)$  và  $\left(2\right)$ , suy ra  $mn\left(m^4-1\right)$  chia hết cho  $30$  $\left(\text{*}\right)$Tương tự, ta cũng chứng minh $mn\left(n^4-1\right)$  chia hết cho cho  $30$  $\left(\text{**}\right)$Từ  $\left(\text{*}\right)$  và  $\left(\text{**}\right)$  suy ra  $mn\left(m^4-n^4\right)$  chia hết cho  $30$  với mọi  $m;n\in Z$

Phước Nguyễn · Answer

Đề câu  $a.$  sai rồi nha bạn! Ví dụ, với  $n=2$  thì  $3^{2.2+1}+2^{2.2+2}=3^5+2^6=307$  không chia hết cho  $7$  (vô lí)Hiển nhiên, với công thức tổng quát  $3^{2n+1}+2^{2n+2}$  sẽ không chia hết cho  $7$  với $n=2$                                                   $-------------$$a.$  $3^{2n+1}+2^{n+2}=3^{2n}.3+2^n.2^2$                                     $=9^n.3+2^n.4$                                   $=9^n.3-2^n.3+2^n.3+2^n.4$                                  $=3\left(9^n-2^n\right)+2^n\left(3+4\right)$                                  $=3\left(9^n-2^n\right)+2^n\left(3+4\right)$                                  $=3\left(9-2\right)\left(9^{n-1}+9^{n-2}.2+9^{n-3}.2^2+...+2^{n-1}\right)+7.2^n$     $3^{2n+1}+2^{n+2}=3.7M+7.2^n$ Vì  $3.7M$ chia hết cho  $7$  và  $7.2^n$  chia hết cho  $7$  nên  $3.7M+7.2^n$  chia hết cho  $7$Vậy,  $3^{2n+1}+2^{n+2}$  chia hết cho  $7$ Câu trả lời: Đề câu  $a.$  sai rồi nha bạn! Ví dụ, với  $n=2$  thì  $3^{2.2+1}+2^{2.2+2}=3^5+2^6=307$  không chia hết cho  $7$  (vô lí)Hiển nhiên, với công thức tổng quát  $3^{2n+1}+2^{2n+2}$  sẽ không chia hết cho  $7$  với $n=2$                                                   $-------------$$a.$  $3^{2n+1}+2^{n+2}=3^{2n}.3+2^n.2^2$                                     $=9^n.3+2^n.4$                                   $=9^n.3-2^n.3+2^n.3+2^n.4$                                  $=3\left(9^n-2^n\right)+2^n\left(3+4\right)$                                  $=3\left(9^n-2^n\right)+2^n\left(3+4\right)$                                  $=3\left(9-2\right)\left(9^{n-1}+9^{n-2}.2+9^{n-3}.2^2+...+2^{n-1}\right)+7.2^n$     $3^{2n+1}+2^{n+2}=3.7M+7.2^n$ Vì  $3.7M$ chia hết cho  $7$  và  $7.2^n$  chia hết cho  $7$  nên  $3.7M+7.2^n$  chia hết cho  $7$Vậy,  $3^{2n+1}+2^{n+2}$  chia hết cho  $7$

Nguyễn VĂn Chiến · Answer

Phước nguyễn nói đúng đấy. Mình cũng làm câu này rồiCâu trả lời: Phước nguyễn nói đúng đấy. Mình cũng làm câu này rồi

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)