Mình có phương pháp này, muốn chia sẻ cho mọi người biết :
Gọi số đó là A, phân tích ra các thừa số nguyên tố (VD : a.b.c....)
Ta có :
\(A=a^x\)thì A có (x + 1) ước.
\(A=a^x.b^y\)thì A có (x + 1) + (y + 1) ước.
\(A=a^x.b^y.c^z\)thì A có (x + 1) + (y + 1) + (z + 1) ước.
Tương tự...
Phân tích 2015 ra các thừa số nguyên tố :
\(2015=5.13.31\)
Vậy 2015 có (1 + 1) + (1 + 1) + (1 + 1) = 6 ước dương.
Lấy ví dụ thử :
\(1000=2^3.5^3\)= 8 ước dương (sai)
\(1001=7.11.13\) = 6 ước dương ( đúng)
Vậy 1001 là số nhỏ nhất có 4 chữ số mà có cùng số ước dương với số 2015.
2015 = 51.131.311 => Số ước nguyên dương của 2015 là (1+1).(1+1).(1+1) = 8 ước
Gọi số đó là n . Phân tích thừa số nguyên tố n = ax.by. cz...( Coi a < b < c <...)
n có 8 ước => (x+1).(y +1)(z +1)... = 8 = 2.4 =4.2 = 2.2.2
+) Nếu n = ax => x+1 = 8 => x = 7 => n = a7 . n là số có 4 chữ số => 1000 < n < 10 000
=> 2 < a < 4 => a = 3 => n = 37 = 2187
+) Nếu n = ax.by => (x+1). (y+1) = 2.4 = 4.2
Trường hợp: x + 1 = 2 và y + 1 = 4 => x = 1; y = 3 => n = a.b3 < b.b3 = b4 Mà 1000 < n < 10 000 => 1000 < b4 và b3 < 10 000
=> 5 < b < 22
Lại có: n > a4 và 10 000 > n => a4 < 10 000 => a < 10
Vì n nhỏ nhất chọn n = 5.73 = 1715
Trường hợp: x + 1 = 4 ; y + 1 = 2 => x = 3; y = 1 => n = a3.b
Tương tự trên: 5 < b < 22 và a < 10 . chọn n = 53. 11 = 1375
+) Nếu (x+1).(y+1).(z+1) = 2.2.2 => x = y = z = 1
=> n =a.b.c .Vì a < b < c và nguyên tố; n nhỏ nhất
Thử a = 5; b = 7 ; c = 11 => n = 5.7.11 = 385 < 1000
a = 7; b = 11; c = 13 => n = 7.11.13 = 1001
Vì n nhỏ nhất chọn n = 1001
