Có p; q ; p -q ; p + q là các số nguyên tố
=> p > q
Th1: q > 2
=> p; q là số chẵn
=> p - q ; p + q là các số chẵn => loại
Th2: q = 2
Ta tìm p để p; p - 2 ; p + 2 là các số nguyên tố
+) Nếu p - 2 = 3 => p = 5 => p + 2 = 7 là các số nguyên tố => p = 5 thỏa mãn
+) Nếu p - 2 = 3k + 1 => p = 3 k + 3 không là số nguyên tố=> loại
+) Nếu p - 2 = 3k + 2 => p = 3k + 4 => p + 2 = 3k + 6 không là số nguyên tố => loại
Vậy p = 5; q = 2
1 Tìm tất cả các số nguyên tố p và q sao cho tồn tại STN m thỏa mãn: p.q / p+q =m2+1/m+1
2 Cho các số nguyên dương x;y;z thỏa mãn X2 +Y2=Z2
a/CM: X*Y chia hết cho 12
b/CM: X3Y-XY3 chia hết cho7
3 CMR với k là số ngyên thì 2016k+3 ko là lập phương 1 số nguyên
1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt:
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12.
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)!
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương)
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x
16. a) CM x² + y² = 7z²
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ
1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt:
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12.
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)!
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương)
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x
16. a) CM x² + y² = 7z²
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ
1) Cho A=xy(x+y) + yz(y+z) + zx(z+x) +2xyz với x,y,z là các số nguyên lẻ.
Chứng minh A chia hết cho 8
2) Cho A = a+b+c và B = a3 + (b+2020)3 + (c+2021)3 với a,b,c là các số nguyên. Chứng minh A chia hết cho 3 khi và chỉ khi B chia hết cho 3
3) Cho các số thực x,y,z thảo mãn \(0\le x,y,z\le1\). Chứng minh rằng :
\(\frac{x}{1+x+yz}+\frac{y}{1+y+xz}+\frac{z}{1+z+xy}\le\frac{3}{x+y+z}\)
cho x,y là 2 số nguyên dương và \(x^2+y^2+10⋮xy\)
c/m \(k=\frac{x^2+y^2+10}{xy}\)chia hết cho 4 và \(k\ge12\)
Cho p là số nguyên tố có dạng 4k + 3 . Cho các số nguyên x và y . Biết \(x^2+y^2⋮p\). CMR: x và y chia hết cho p
1) Cho các số nguyên \(x,y\)thỏa mãn \(x^3+y^3=2016\). Chứng minh rằng: \(\left(x+y\right)^3+3xy\left(x+y\right)\)chia hết cho 18.
2) Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\)sao cho\(p^2+14\)là số nguyên tố.
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\sqrt{1-6x+9x^2}+\sqrt{9x^2-12x+4}\)
Tìm x,y nguyên dương để p = x^2 + y^2 là số nguyên tố và x^3 + y^3 - 4 chia hết cho p
cho x,y là các số nguyên sao cho x^2-2xy-y và xy-2y^2-x đều chia hết cho 5 . Chứng minh rằng 2x^2+y^2+2x+y cũng chia hết cho 5
