1 giải pt \(6+3\sqrt{x-2}=2x+\sqrt{x+6}\)
2cho P=\(P=\frac{a^2-\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+\frac{2a-2}{\sqrt{a}-1}\) Tìm các giá trị của a để M=\(\sqrt{a}.\frac{2}{P}\) là số nguyên
3tìm ngiệm nguyên \(x^3+2x=y^2-2009\)
4 cho a,b là 2 số thực dương thõa mãm \(a^2+b^2=1\) CM \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)
5 tìm gtln của\(T=2ac+bc+cd\) trong đó a,b,c,d là các số thực thõa mãn \(4a^2+b^2=2\) và \(c+d=4\)
6 cho x,y,z >0 và\(x^{2011}+y^{2011}+z^{2011}=3\) Tìm gtln \(M=x^2+y^2+z^2\)
7 Tìm nhiệm nguyên của \(x^3+2x^2+3x+2=y^3\)
8cho 2 số thực a,b ko âm và \(18a+4b\ge2013\) cm :pt sau luôn có nghiệm \(18ax^2+4bx+671-9a=0\)
Mong các bạn giụp mình
1.
\(DK:x\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(3\sqrt{x-2}-3\right)+\left(3-\sqrt{x+6}\right)-\left(2x-6\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{3\left(x-3\right)}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{x-3}{3+\sqrt{x+6}}-2\left(x-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\frac{3}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{1}{3+\sqrt{x+6}}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\left(1\right)\\\frac{3}{\sqrt{x-2}+3}-\frac{1}{3+\sqrt{x+6}}-2=0\left(2\right)\end{cases}}\)
PT(2) khac khong voi moi \(x\ge2\)
Vay nghiem cua PT la \(x=3\)
\(x^3+2x=y^2-2009\)
\(\Leftrightarrow x^3-x=y^2-3x-2009\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)=y^2-3x-2009\)
Dễ thấy VT chia hết cho 3 nên VP chia hết cho 3
Suy ra \(y^2\) chia 3 dư 2 vì 2009 chia 3 dư 2 và 3x chia hết cho 3 ( vô lý vì số chính phương ko chia 3 dư 2 )
Vậy pt vô nghiệm
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}+2\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}-\frac{a^2+b^2}{ab}+2-2\sqrt{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b-1}{ab}+2-2\sqrt{2}\ge0\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT phụ \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}=\frac{1}{2}\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow2a+2b-2+2-2\sqrt{2}\ge0\)
Áp dụng 1 lần nữa ta có:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\left(true\right)\)
P/S:E ko chắc ạ
Ta co:\(1=a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow a+b\le\sqrt{2}\)
Ta lai co:\(\hept{\begin{cases}a^2=1-b^2\\b^2=1-a^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a^2}{1+b}=1-b\\\frac{b^2}{1+a}=1-a\end{cases}}\)
Dat \(\hept{\begin{cases}a+b=t\\ab=v\end{cases}\left(t,v>0\right)}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}t\le2\\t^2-2v=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t\le2\\v=\frac{t^2-1}{2}\end{cases}}}\)
Dat \(P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\)
\(=\frac{1-b}{a}+\frac{1-a}{b}+2\)
\(=\frac{\frac{a^2}{1+b}}{a}+\frac{\frac{b^2}{1+a}}{b}+2\)
\(=\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+2\)
\(=\frac{a+b+a^2+b^2}{1+a+b+ab}+2\)
\(=\frac{t+1}{t+1+\frac{t^2-1}{2}}+2\)
\(=\frac{2\left(t+1\right)}{\left(t+1\right)^2}+2\)
\(=\frac{2}{t+1}+2\ge\frac{2}{\sqrt{2}+1}+2=2\sqrt{2}\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
5.
Ta co
\(T=2ac+bc+cd=c\left(2a+b\right)+cd\le c\sqrt{2\left(4a^2+b^2\right)}+cd=6c-c^2=9-\left(3-c\right)^2\le9\)
Dau '=' xay ra khi \(a=\frac{1}{2},b=d=1,c=3\)
Vay \(T_{max}=9\)khi \(a=\frac{1}{2},b=1,c=3,d=1\)
