Question

1. Giải phương trình

\(\dfrac{\left(x-a\right)\left(x-c\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=1\)

2. Cho hình chữ nhật ABCD, E là điểm thuộc cạnh AD sao cho BC=BE. Phân giác của góc CBE cắt CD tại F, AB cắt EF tại I. Chứng minh rằng:

a) AB.EI=BC.AE

b) \(\dfrac{1}{AE^2}=\dfrac{1}{BE^2}+\dfrac{1}{EI^2}\)

c) \(CI\)⊥\(BD\)

3. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho góc DME bằng góc B. Chứng minh rằng:

a) \(BD.CE=\dfrac{1}{4}BC^2\)

b) DM là phân giác của góc BDE.

c) Chu vi tam giác ADE không đổi khi D, E chuyển động trên cạnh AB và AC

Answer 1

1. ĐKXĐ: \(a,b,c\) đôi một khác nhau.

\(\dfrac{\left(x-a\right)\left(x-c\right)}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}+\dfrac{\left(x-b\right)\left(x-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}=1\)

⇔\(\dfrac{x-c}{a-b}\left(\dfrac{x-b}{a-c}-\dfrac{x-a}{b-c}\right)=1\)

⇔\(\dfrac{x-c}{a-b}.\dfrac{\left(x-b\right)\left(b-c\right)-\left(x-a\right)\left(a-c\right)}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=1\)

⇔\(\dfrac{x-c}{a-b}.\dfrac{bx-cx-b^2+bc-\left(ax-cx-a^2+ac\right)}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=1\)

⇔\(\dfrac{x-c}{a-b}.\dfrac{bx-b^2+bc-ax+a^2-ac}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=1\)

⇔\(\dfrac{x-c}{a-b}.\dfrac{x\left(b-a\right)+c\left(b-a\right)-\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=1\)

⇔\(\dfrac{x-c}{a-b}.\dfrac{\left(b-a\right)\left(x-a-b+c\right)}{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=1\)

⇔\(\dfrac{\left(x-c\right)\left(a-b\right)\left(x-a-b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}-1=0\)

⇔\(\dfrac{\left(x-c\right)\left(a-b\right)\left(x-a-b+c\right)}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)}-\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)

⇔\(\left(x-c\right)\left(a-b\right)\left(x-a-b+c\right)-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0\)

⇔\(\left(a-b\right)\left[\left(x-c\right)\left(x-a-b+c\right)-\left(b-c\right)\left(c-a\right)\right]=0\)

⇔\(a-b=0\) (loại do \(a\ne b\)) hay \(\left(x-c\right)\left(x-a-b+c\right)-\left(b-c\right)\left(c-a\right)=0\)

⇔\(x^2-ax-bx+cx-cx+ac+bc-c^2-\left(bc-ab-c^2+ac\right)=0\)

⇔\(x^2-ax-bx+cx-cx+ac+bc-c^2-bc+ab+c^2-ac=0\)

⇔\(x^2-ax-bx+ab=0\)

⇔\(x\left(x-a\right)-b\left(x-a\right)\)

⇔\(\left(x-a\right)\left(x-b\right)=0\)

⇔\(x=a\) hay \(x=b\)

-Vậy \(S=\left\{a;b\right\}\)