Question

1, CMR với mọi số thực a, b luôn có: \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\) và \(ab\le\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

2, Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\)

Tìm GTLN của \(E=\frac{2x-y-z}{y+z}\) 

Answer 1

1)

   +)  Ta có

            \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

       \(\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

        \(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

        \(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+b^2+2ab\)

        \(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

        \(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\)  ( đpcm )

     + )   Theo phần trên

             \(a^2+b^2\ge2ab\)

           \(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\)

           \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

            \(\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)  ( đpcm )

                

Answer 2

2, 

Ta có: \(5\left(x^2+y^2+z^2\right)-9x\left(y+z\right)-18yz=0\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)+5\left(y+z\right)^2=28yz\le7\left(y+z\right)^2\)\(\Leftrightarrow5x^2-9x\left(y+z\right)-2\left(y+z\right)^2\le0\Leftrightarrow5\left(\frac{x}{y+z}\right)^2-9.\frac{x}{y+z}-2\le0\)\(\Leftrightarrow\left(5.\frac{x}{y+z}+1\right)\left(\frac{x}{y+z}-2\right)\le0\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}\le2\)(Do \(5.\frac{x}{y+z}+1>0\forall x,y,z>0\))

\(\Rightarrow E=\frac{2x-y-z}{y+z}=2.\frac{x}{y+z}-1\le2.2-1=3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(y=z=\frac{x}{4}\)