Bài 1:
Nếu $n$ không chia hết cho $7$ thì:
\(n\equiv 1\pmod 7\Rightarrow n^3\equiv 1^3\equiv 1\pmod 7\Rightarrow n^3-1\vdots 7\)
\(n\equiv 2\pmod 7\Rightarrow n^3\equiv 2^3\equiv 1\pmod 7\Rightarrow n^3-1\vdots 7\)
\(n\equiv 3\pmod 7\Rightarrow n^3\equiv 3^3\equiv -1\pmod 7\Rightarrow n^3+1\vdots 7\)
\(n\equiv 4\equiv -3\pmod 7\Rightarrow n^3\equiv (-3)^3\equiv 1\pmod 7\Rightarrow n^3-1\vdots 7\)
\(n\equiv 5\equiv -2\pmod 7\Rightarrow n^3\equiv (-2)^3\equiv -1\pmod 7\Rightarrow n^3+1\vdots 7\)
\(n\equiv 6\equiv -1\pmod 7\Rightarrow n^3\equiv (-1)^3\equiv -1\pmod 7\Rightarrow n^3+1\vdots 7\)
Vậy \(n^3-1\vdots 7\) hoặc \(n^3+1\vdots 7\)
b)
Đặt \(A=mn(m^2-n^2)(m^2+n^2)\)
Nếu $m,n$ có cùng tính chẵn lẻ thì \(m^2-n^2\) chẵn, do đó \(A\vdots 2\)
Nếu $m,n$ không cùng tính chẵn lẻ, có nghĩa trong 2 số $m,n$ tồn tại một số chẵn và một số lẻ, khi đó \(mn\vdots 2\Rightarrow A\vdots 2\)
Tóm lại, $A$ chia hết cho $2$
---------
Nếu trong 2 số $m,n$ có ít nhất một số chia hết cho $3$ thì \(mn\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3\)
Nếu cả hai số đều không chia hết cho $3$. Ta biết một tính chất quen thuộc là một số chính phương chia $3$ dư $0$ hoặc $1$. Vì $m,n$ không chia hết cho $3$ nên:
\(m^2\equiv n^2\equiv 1\pmod 3\Rightarrow m^2-n^2\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3\)
Vậy \(A\vdots 3\)
-----------------
Nếu tồn tại ít nhất một trong 2 số $m,n$ chia hết cho $5$ thì hiển nhiên $A\vdots 5$
Nếu cả 2 số đều không chia hết cho $5$. Ta biết rằng một số chính phương khi chia $5$ dư $0,1,4$. Vì $m,n\not\vdots 5$ nên \(m^2,n^2\equiv 1,4\pmod 5\)
+Trường hợp \(m^2,n^2\) cùng số dư khi chia cho $5$\(\Rightarrow m^2-n^2\equiv 0\pmod 5\Rightarrow m^2-n^2\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5\)
+Trường hợp $m^2,n^2$ không cùng số dư khi chia cho $5$
\(\Rightarrow m^2+n^2\equiv 1+4\equiv 0\pmod 5\Rightarrow m^2+n^2\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5\)
Tóm lại $A\vdots 5$
Vậy \(A\vdots (2.3.5)\Leftrightarrow A\vdots 30\) (do $2,3,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau)
Ta có đpcm.
Bài 2q
a) Để ý rằng \(2^3\equiv 1\pmod 7\) nên ta sẽ xét modulo $3$ cho $n$
TH1: Nếu \(n=3k(k\in\mathbb{N})\)
\(2^{2n}+2^n+1=2^{6k}+2^{3k}+1\equiv 1^{2k}+1^k+1\equiv 3\pmod 7\)
\(\Rightarrow 2^{2n}+2^n+1\not\vdots 7\) (loại)
TH2: \(n=3k+1\)
\(2^{2n}+2^n+1=2^{6k+2}+2^{3k+1}+1\equiv 4.1^{2k}+2.1^k+1\equiv 7\equiv 0\pmod 7\)
\(\Rightarrow 2^{2n}+2^n+1\vdots 7\) (chọn)
TH3: \(n=3k+2\)
\(2^{2n}+2^n+1=2^{6k+4}+2^{3k+2}+1\equiv 2^4.1^{2k}+2^2.1^k+1\equiv 21\equiv 0\pmod 7\)
\(\Rightarrow 2^{2n}+2^n+1\vdots 7\)
Vậy số $n$ cần tìm là tất cả các số tự nhiên không chia hết cho $3$
Bài 2b:
Xét \(n=0\Rightarrow 3^n+63=64\not\vdots 72\) (l)
Xét \(n=1\Rightarrow 3^n+63=66\not\vdots 72\) (l)
Xét \(n\geq2\)
\(3^n+63\vdots 72\)
\(\Leftrightarrow 3^{n-2}+7\vdots 8\)
Nếu \(n-2\) chẵn, đặt \(n-2=2k\)
Khi đó: \(3^{n-2}+7=3^{2k}+7=9^k+7\equiv 1^k+7\equiv 0\pmod 8\) (t/m)
Nếu \(n-2\) lẻ, đặt $n-2=2k+1$
Khi đó: \(3^{n-2}+7=3^{2k+1}+7\equiv 3.1^k+7\equiv 2\pmod 8\)
\(\Rightarrow 3^{n-2}+7\not\vdots 8\)
Vậy số $n$ thỏa mãn là số nguyên dương sao cho $n-2$ chẵn, hay số $n$ thỏa mãn là tất cả các số tự nhiên chẵn lớn hơn $0$
