Question

CMR \(\forall\) m,n nguyên:

a) n²(n² - 1) \(⋮\) 12

b) n²(n⁴ - 1) \(⋮\) 60

c) mn(m⁴ - n⁴) \(⋮\) 30

d) n⁵ - n \(⋮\) 30

e) 2n(16 - n⁴) \(⋮\) 30

Answer 1

a: \(A=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\cdot n\)

TH1: n=2k

n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 với mọi n

=>A chia hết cho 12

TH2: n=2k+1

\(A=\left(2k+1\right)\cdot\left(2k+1\right)\cdot2k\cdot\left(2k+2\right)\)

\(=4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+1\right)⋮4\)

mà 2k(2k+1)(2k+2) chia hết cho 6

nen A chia hết cho 12

d: Vì 5 là số nguyên tố nên \(n^5-n⋮5\left(1\right)\)

\(A=n^5-n=n\left(n^4-1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2+1\right)⋮6\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 30