Question

1 : Chứng minh rằng : \(3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+100}\) chia hết cho 120 ( với \(x\inℕ\))

2 . Cho ba số a , b , c khác 0 thỏa mãn điều kiện :

\(\frac{3a+b+c}{a}+\frac{a+3b+c}{b}+\frac{a+b+3c}{c}\)

Tính giá trị biểu thức \(P=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

3 Tìm các cặp số nguyên \(\left(x;y\right)\)thỏa mãn \(x+2y=3xy+3\)

 

Answer 1

1) Ta có : Đặt M = 3^{x + 1} + 3^{x + 2} + ... + 3^{x + 100}

= 3^x(3 + 3² + ... + 3¹⁰⁰) 

= 3^x[(3 + 3² + 3³ + 3⁴) + (3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸) + ... + (3⁹⁷ 3⁹⁸ + 3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)]

= 3^x[(3 + 3² + 3³ + 3⁴) + 3⁴.(3 + 3² + 3³ + 3⁴) + ... + 3⁹⁶.(3 + 3² + 3³ + 3⁴)]

= 3^x(120 + 3⁴.120 + .... + 3⁹⁶.120)

= 3^x.120.(1 + 3⁴ + .... + 3⁹⁶)

=> \(M⋮120\)(ĐPCM)

2) Ta có \(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{3a+b+c}{a}-2=\frac{a+3b+c}{b}-2=\frac{a+b+3c}{c}-2\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)

Nếu a + b + c = 0

=> a + b = - c

b + c = -a

c + a = -b

Khi đó P = \(\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-3\)

Nếu a + b + c \(\ne\)0

=> \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó P = \(\frac{2c}{c}+\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}=2+2+2=6\)

Vậy nếu a + b + c = 0 thì P = -3

nếu a + b + c  \(\ne\)0 thì P = 6

Answer 2

Ta có : 

\(3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+100}\)

\(=\left(3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+3^{x+4}\right)+...\)\(+\left(3^{x+97}+3^{x+98}+3^{x+99}+3^{x+100}\right)\)

\(=3^x\left(3+3^2+3^3+3^4\right)+...+3^{x+96}\left(3+3^2+3^3+3^4\right)\)

\(=3^x.120+3^{x+4}.120+...+3^{x+96}.120\)

\(=120.\left(3^x+3^{x+4}+...+3^{x+96}\right)\)

Vì \(120⋮120\)

\(\Rightarrow120.\left(3^x+3^{x+4}+...+3^{x+96}\right)⋮120\)

\(\Rightarrow3^{x+1}+3^{x+2}+3^{x+3}+...+3^{x+100}⋮120\left(\forall x\inℕ\right)\left(đpcm\right)\)

Answer 3

Câu 3 mk test thôi nhé , mk chưa thử lại đâu :P

ta có : x+2y=3xy+3

=>yx+2y=3xy+3y

=>y.(x+2)=y.[3.(x+1)]

=>x+2=3x+3

=>-2x=1

=>x= -1/2

Thay vào , Ta có :

-1/2+2y=-3y/2+3

=>y/2=7/2

=>y=7

vì x= -1/2

=>x;y thuộc tập hợp rỗng :>

Answer 4

Bài 2 : 

\(\frac{3a+b+c}{a}+\frac{a+3b+c}{b}+\frac{a+b+3c}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{3a}{a}+\frac{b+c}{a}=\frac{3b}{b}+\frac{a+c}{b}=\frac{3c}{c}+\frac{a+b}{c}\)

\(\Rightarrow3+\frac{b+c}{a}=3+\frac{a+c}{b}=3+\frac{a+b}{c}\)

\(\Rightarrow\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\)

TH1 : \(a+b+c=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{cases}}\)

Ta có : \(P=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)

\(\Rightarrow P=\frac{-c}{c}+\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}\)

\(\Rightarrow P=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)\)
\(\Rightarrow P=-3\)

+ TH2  : \(a+b+c\ne0\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\)

\(=\frac{b+c+a+c+a+b}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{b+c}{a}=2\\\frac{a+c}{b}=2\\\frac{a+b}{c}=2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\a+c=2b\\a+b=2c\end{cases}}}\)

Lại có : \(P=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\)

\(\Rightarrow P=\frac{2c}{c}+\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}\)

\(\Rightarrow P=2+2+2\)

\(\Rightarrow P=6\)

Vậy P = -3 hoặc P = 6 

Chúc bạn học tốt !!!

Answer 5

Ta có: \(x+2y=3xy+3\)

<=> \(3xy+3-2y-x=0\)

<=> \(\left(3xy-2y\right)-x+3=0\)

<=> \(y\left(3x-2\right)-x+3=0\)

<=> \(3y\left(3x-2\right)-3x+9=0\)

<=> \(3y\left(3x-2\right)-\left(3x-2\right)+7=0\)

<=> \(\left(3x-2\right)\left(3y-1\right)+7=0\)

<=> \(\left(3x-2\right)\left(3y-1\right)=-7\)

3x-2	-7	-1	1	7
3y-1	1	7	-7	-1
x	-5/3 ( loại)	1/3 ( loại)	1	3
y			-2	0
			tm	tm

Kết luận:  x = 1; y = -2 hoặc x = 3 ; y = 0.