1) Cho\(\Delta ABC\)vuông cân tại A có trung tuyến AM.Lấy\(E\in BC\); BH _|_ AE tại H ; CK _|_ AE tại K.
CMR\(\Delta MHK\)vuông cân.
2) Cho tam giác ABC có 3 đường cao dài 4,12,a (\(a\in N\)).Tìm a
3) Tìm\(x\in Z\)thỏa mãn (x2 - 1)(x2 - 4)(x2 - 7)(x2 - 10) < 0
4) Tìm GTNN của\(A=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|\)với a < b < c < d
5) Cho điểm O nằm trong tam giác ABC.Kẻ OM,ON,OP lần lượt vuông góc với BC,AC,AB tại M,N,P. CMR :
AP2 + BM2 + CN2 = AN2 + BP2 + CM2
Do ΔABC cân nên AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường trung trực với cạnh BC
=> ΔAMB và ΔAMC vuông cân và bằng nhau
=> Góc C1= Góc A1
Xét ΔABH và ΔCAK có
BA=AC( ΔABC cân)
Góc B1=Góc A3 ( cùng phụ với góc BAK)
Đều _|_ AK
=> ΔCAK=ΔABH ( cạnh huyền góc nhọn)
=> Góc BAK = Góc CAK
Mà Góc C1= Góc A1
=> Góc A2= Góc C2
Xét 2 ΔAHM và ΔCKM có
AM=MC ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)
Góc A2= Góc C2 (cmt)
AH=CK (vì ΔCAK=ΔABH)
=> ΔAHM = ΔCKM (c.g.c)
=>HM=MK=> ΔMHK cân tại M (1)
Ta lại có Góc M1= Góc M2
mà Góc M1+góc M3=90o
=> Góc M2+ Góc M3 = Góc HMK =90o (2)
Từ (1) Và (2) => ΔMHK vuông cân tại M
1,Ta có: Tam giác ABC là tam giác vuông cân
=> AB=AC
Mặt khác có:
mà => Lại có:Tam giác HBA vuông tại H và tam giác KAC vuông tại K
Từ ;; => tam giác HBA = tam giác KAC﴾Ch‐gn﴿
=>BH=AK﴾đpcm﴿
2,Ta có:AM là trung tuyến của tam giác cân => AM cũng là đường cao
Mặt khác:
mà => Tam giác AHM=tam giác CKM ﴾c.g.c﴿ vì
Có:AM=MC﴾AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền﴿
AH=CK ﴾câu a﴿
=>MH=MK và
Ta có: ﴾AM là đường cao﴿
Từ ; => Góc HMK vuông
Kết hợp ;=> MHK là tam giác vuông cân
Trần Văn Thành chép trên mạng mà chưa chắc hiểu,còn thiếu sót nhiều nữa kia !
có ai mún kb với mik ko?mik hết lượt kb r huhuhuhu....
Taco;AM la duong cao suy ra goc HMK vuong
Ket hop suy ra MHK la tam gic vuong can
\(\Delta ABC\)cân tại A có AB = AC ; AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao (1)
\(\Delta BHA\)vuông tại H có\(\widehat{B_1}+\widehat{BAH}=90^0\)mà\(\widehat{A_3}+\widehat{BAH}=90^0\Rightarrow\widehat{B_1}=\widehat{A_3}\)
\(\Delta HBA,\Delta KAC\)vuông tại H,K có : BA = AC (cmt) ;\(\widehat{B_1}=\widehat{A_3}\)(cmt)
\(\Rightarrow\Delta HBA=\Delta KAC\)(cạnh huyền - góc nhọn) => AH = CK (2 cạnh tương ứng)
\(\Delta MAE,\Delta KCE\)vuông tại M (do (1)),K có :\(\hept{\begin{cases}\widehat{A_2}+\widehat{E_1}=90^0\\\widehat{C_2}+\widehat{E_2}=90^0\\\widehat{E_1}=\widehat{E_2}\left(đđ\right)\end{cases}\Rightarrow\widehat{A_2}=\widehat{C_2}}\)
\(\Delta AHM,\Delta CKM\)có : AM = MC (AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên\(AM=\frac{BC}{2}\)mà\(MC=\frac{BC}{2}\)) ;
\(\widehat{A_2}=\widehat{C_2}\left(cmt\right);AH=CK\left(cmt\right)\)nên\(\Delta AHM=\Delta CKM\left(c.g.c\right)\)
=> MH = MK (2 cạnh tương ứng) (2) ;\(\widehat{M_1}=\widehat{M_3}\)(2 góc tương ứng) mà\(\widehat{M_1}+\widehat{M_2}=90^0\)\(\Rightarrow\widehat{M_3}+\widehat{M_2}=\widehat{HMK}=90^0\)(3).Từ (2) và (3),ta có đpcm.
2) Giả sử AB,AC,BC lần lượt là các đáy tương ứng với chiều cao 4,12,a thì
\(AB=\frac{2S_{ABC}}{4};AC=\frac{2S_{ABC}}{12};BC=\frac{2S_{ABC}}{a}.\Delta ABC\)có :
\(AB+AC>BC\Leftrightarrow2S_{ABC}.\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)>2S_{ABC}.\frac{1}{a}\Rightarrow\frac{1}{3}>\frac{1}{a}\Rightarrow3< a\left(1\right)\)
\(AB-AC< BC\Leftrightarrow2S_{ABC}.\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{12}\right)< 2S_{ABC}.\frac{1}{a}\Rightarrow\frac{1}{6}< \frac{1}{a}\Rightarrow6>a\left(2\right)\)
Từ (1),(2) và\(a\in N\Rightarrow a\in\left\{4;5\right\}\)
3) Để vế trái âm thì có 2 trường hợp : 3 số âm,1 số dương ; 3 số dương,1 số âm.Vì -1 > -4 > -7 > -10 nên ta có :
TH1 : x2 - 1 > 0 > x2 - 4 > x2 - 7 > x2 - 10 =>\(\hept{\begin{cases}x^2-1>0\\x^2-4< 0\end{cases}}\)=> 1 < x2 < 4 mà x nguyên => Ko có giá trị x thỏa mãn
TH2 : x2 - 1 > x2 - 4 > x2 - 7 > 0 > x2 - 10 =>\(\hept{\begin{cases}x^2-7>0\\x^2-10< 0\end{cases}}\)=> 7 < x2 < 10 mà x nguyên => x2 = 9 => x = -3 ; 3
Vậy x = - 3 ; 3
4) Bổ đề : Chứng minh\(|m|+|n|\ge|m+n|\)
Ta có :\(\left(|m|+|n|\right)^2=|m|^2+2|m||n|+|n|^2=m^2+2|mn|+n^2\)
\(|m+n|^2=\left(m+n\right)^2=m^2+2mn+n^2\)
\(|mn|\ge mn\Rightarrowđpcm\Rightarrow|m|+|n|+|p|\ge|m+n|+|p|\ge|m+n+p|\)
\(\Rightarrow|m|+|n|+|p|+|q|\ge|m+n+p|+|q|\ge|m+n+p+q|\).Dấu = xảy ra khi :
\(mn\ge0;\left(m+n\right)p\ge0;\left(m+n+p\right)q\ge0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m,n,p,q\ge0\\m,n,p,q\le0\end{cases}}\).Áp dụng cmt,ta có :
\(A=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|=|x-a|+|x-b|+|c-x|+|d-x|\ge|c+d-a-b|\)
= c + d - a - b ( vì c > a ; d > b nên c + d - a - b > 0 + 0 = 0).Dấu = xảy ra khi :
\(\orbr{\begin{cases}x-a;x-b;c-x;d-x\ge0\\x-a;x-b;c-x;d-x\le0\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x\ge a;x\ge b;x\le c;x\le d\\a< b;c< d\end{cases}}\\x\le a;x\le b;x\ge c;x\ge d\end{cases}}\Rightarrow b\le x\le c}\)
Vậy Amin = c + d - a - b khi\(b\le x\le c\)
5)
Áp dụng định lí Pi-ta-go với các tam giác vuông ở trên ,ta có :
AP2 + BM2 + CN2 = OA2 - OP2 + OB2 - OM2 + OC2 - ON2 (1)
AN2 + BP2 + CM2 = OA2 - ON2 + OB2 - OP2 + OC2 - OM2 (2)
Từ (1) và (2),ta có AP2 + BM2 + CN2 = AN2 + BP2 + CM2
