Question

1: Cho y là các số dương, chứng tỏ rằng yx+xy≥2

2: cho hình thoi ABCD cạnh a. một đường thẳng đi qua C cắt các tia đối của các tia BA và DA theo thứ tự ở I và Q. Chứng minh 1/AI+1/AQ=1/a

3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, ở ngoài tam giác ABC vẽ các tam giác ABH vuông cân tại B, tam giác ACK vuông cân tại C. D là giao điểm của AB và HC, E là giao điểm của AC và BK. Chứng minh AD = AE

 

 

Answer 1

1. \(y>0\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số dương ta có:

\(y+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{y.\dfrac{1}{y}}=2\left(đpcm\right)\)

Answer 2

2. ABCD là hình thoi \(\Rightarrow\)AC là phân giác \(\widehat{IAQ}\).

△IAQ có: AC là phân giác \(\Rightarrow\dfrac{AI}{AQ}=\dfrac{IC}{CQ}\Rightarrow\dfrac{AI+AQ}{AQ}=\dfrac{IQ}{CQ}\).

△IAQ có: BC//AQ \(\Rightarrow\dfrac{AI}{AB}=\dfrac{AI}{a}=\dfrac{IQ}{CQ}\Rightarrow\dfrac{AI}{a}=\dfrac{AI+AQ}{AQ}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}=\dfrac{AI+AQ}{AI.AQ}=\dfrac{1}{AI}+\dfrac{1}{AQ}\)

Answer 3

3. Sửa đề: △ABC vuông tại A.

△BDH có: BH//AC (cùng vuông góc AB)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{BH}{AC}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AC}\Rightarrow\dfrac{1}{AD}=\dfrac{AB+AC}{AB.AC}\left(1\right)\)

△ABE có: AB//CE (cùng vuông góc AC)

\(\Rightarrow\dfrac{CE}{AE}=\dfrac{CK}{AB}=\dfrac{AC}{AB}\Rightarrow\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AB+AC}{AB}\Rightarrow\dfrac{1}{AE}=\dfrac{AB+AC}{AB.AC}\left(2\right)\)

-Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{1}{AD}=\dfrac{1}{AE}\Rightarrow AD=AE\)