Question

1  Cho x,y dương . Chứng minh bất đẳng thức

( x + y ) . ( 1/x + 1/y )  lớn hơn hoặc bằng 4

2  Với a khác 0 .Chứng minh a + 1/a lớn hơn hoặc bằng 2

 

MONG CÁC BẠN GIÚP MÌNH NHA !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Áp dụng BĐT cô si ,ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x\cdot y}{y\cdot x}}=2\)

Vậy ta được đpcm

ta có:

\(a+\frac{1}{a}-2=\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{a}\ge2\)

Vì a và 1/a cùng dấu nên 2 căn (a*1/a) lớn hơn 0 nha