Question

1). cho x,y >=1

CM:  \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le xy\)

2). cho tam giác ABC có 2 góc nhọn, H là trực tâm. K là chân đường cao vẽ từ A của tam giác ABC.

CM: \(KH\times KA\le\frac{BC^2}{4}\)

Answer 1

1) Áp dụng BĐT Cô-si dạng \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\) cho 2 số dương \(y-1\)và 1

\(x\sqrt{y-1}=x\sqrt{1.\left(y-1\right)}\le x.\frac{1+y-1}{2}=\frac{xy}{2}\)(1)

Tương tự ta có \(y\sqrt{x-1}\le\frac{xy}{2}\)(2)

Cộng (1) và (2) vế theo vế ta suy ra đpcm.

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=1\\y-1=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=2}\)

Answer 2

khó v cho đi

Answer 3

1 ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có : 

\(x\sqrt{y-1}=x\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\frac{x\left(y-1+1\right)}{2}=\frac{xy}{2}\)(1)

Tương tự : \(y\sqrt{x-1}\le\frac{xy}{2}\)(2)

Cộng (1) và (2) theo vế được : \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le xy\) (đpcm)

2) 

Gọi BL là đường cao thứ hai kẻ từ B đến AC (L thuộc AC)

Ta có : \(\widehat{LBC}+\widehat{BCA}=\widehat{KAC}+\widehat{BCA}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{LBC}=\widehat{KAC}\) (vì cùng phụ với góc BCA)

Xét hai tam giác : \(\Delta KBH\) và \(\Delta KAC\) có :

 \(\widehat{HKB}=\widehat{AKC}=90^o\)  ;  \(\widehat{HBK}=\widehat{KAC}\) (CMT)

\(\Rightarrow\Delta KBH~\Delta KAC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{KH}{KC}=\frac{KB}{KA}\Rightarrow KH.KA=KB.KC\)

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\) được : \(KB.KC\le\frac{\left(KB+KC\right)^2}{4}=\frac{BC^2}{4}\)

Vậy \(KH.KA\le\frac{BC^2}{4}\) (đpcm)

Answer 4

ngu người