1, Cho tam giác ABC có đường phân giác trong AD, đường phân giác ngoài AE. CMR: \(\frac{1}{CD}+\frac{1}{CE}=\frac{2}{CB}\)
2, Cho \(\widehat{xOy}\ne180\)và M cố định nằm bên trong góc đó, qua M kẻ đường thẳng d bất kì, đường thẳng này cắt tia Ox tại A, cắt tia Oy tại B. Xác định vị trí của đường thẳng d để \(\frac{1}{MB}+\frac{1}{MA}\)đạt giá trị lớn nhất
1. Cho tam giác ABC. Gọi AM và AD lần lượt là các đường trung tuyến và phân giác trong góc A. Đường thẳng đối xứng với AM qua phân giác AD cắt BC tại N. Chứng minh rằng \(\frac{BN}{CN}=\frac{AB^2}{AC^2}\)
2.Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính R và r. A và M là hai điiểm thuộc đường tròn nhỏ (A chuyển động, M cố định). Qua điểm M vẽ dây BC của đường tròn lớn sao cho BC vuông góc với AM. Cmr:
a) Tổng \(MA^2+MB^2+MC^2\)không phụ thuộc vào vị trí điểm A
b)Tọng tâm G của tam giác ABC là điểm cố định
cho góc xOy nhọn A là điểm bất kì nằm trong phân giác của góc xOy qua A kẻ đường thẳng cắt Ox tại E, Oy tại F. chứng minh rằng \(\frac{1}{OE}+\frac{1}{OF}\) không đổi
Cho \(\widehat{xOy}=\alpha\left(0< \alpha< 90\right)\) . Trên tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)lấy một điểm A cố định. Qua A vẽ một đường thẳng thay đổi cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M,N. CMR: tổng \(\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}\)có giá trị không đổi
Cho góc xOy vuông và điểm M cố định nằm trong góc đó. Hãy vẽ đường thẳng d qua M cắt Ox tại A; Oy tại B sao cho 1/MA + 1/MB lớn nhất
1/ Cho góc xOy cố định và điểm M cố định ở bên trong góc đó. Hãy dựng qua điểm M 1 đường thẳng d cắt 2 cạnh Ox;Oy lần lượt ở A;B sao cho \({1 \over MA}\)+\( {1 \over MB}\) đạt GTLN
2/ Cho góc xOy vuông. Trên Ox;Oy lần lượt lấy A:B sao cho OA=OB. M là điểm bất kì trên AB. Dựng (O1) đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A. Dựng (O2) đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B.(O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai N. CMR:
a. MN đi qua 1 điểm cố định
b. N nằm trên 1 cung tròn cố định khi M thay đổi trên AB
c. Xác định MN để O1O2 ngắn nhất
3/ Cho hình thoi ABCD có góc A=60 độ. M là 1 điểm trên cạnh BC. AM cắt DC tại N.
a. CM: AD2=BM.DN
b. Đường thẳng DM cắt BN tại E. CM: Tứ giác BECD nội tiếp
c. Coi ABCD cố định. CM: Enằm trên 1 cung cố định
Bài 1: Cho AB là đường kính của đường tròn (O;R). C là 1 điểm thay đổi trên đường tròn.Kẻ CH vuông góc với
Gọi I là trung điểm của AC,OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn tại M,MB cắt CH tại K
Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ACB đạt GTLN?tìm GTLN đó theo R
Bài 2: Cho đường tròn (O;R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn. M là 1 điểm thuộc dt d . Qua M kẻ tiếp tuyến MA,MB với đường tròn. Hạ OH vuông góc với d tại H.Nối Ab cắt OM tại I,OH tại K.Tia OM cắt đường tròn (O;R) tại E
Cm: E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK có diên tích lớn nhất
Bài 3 :cho 3 điểm a,b,c cố định nằm trên đường thẳng d(b nằm giữa a và c) .Vẽ đường tròn (0) cố định luôn đi qua B và C (0 là không nằm trên đường thẳng D ).Kẻ AM,AN là các tiếp tuyến với (0) tại M ,N .gọi I là trung điểm của BC,OA cắt MN tại H cắt (0) tại P và Q ( P nằm giữa A và O).BC cắt MN tại K
a.CM: O,M,N,I cùng nằm trên 1 đường tròn
b.CM điểm K cố định
c.Gọi D là trung điểm của HQ.Từ H kẻ đường thẳng vuông góc MD cắt MP tại E
d.Cm: P là trung điểm của ME
Bài 4:Cho đường tròn (O;R) đường kính CD=2R. M là 1 điểm thay đổi trên OC . Vẽ đường tròn (O') đường kính MD. Gọi I là trung điểm của MC,đường thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E,F. đường thẳng ED cắt (O') tại P
a.Cm 3 điểm P,M,F thẳng hàng
b.Cm IP là tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
c.Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO lớn nhất
Cho góc xOy. Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox, Oy tại M và N. Biết giá trị biểu thức \(\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}\)không thay đổi khi đường thẳng d thay đổi.
Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không đi qua tâm (O) cắt đường tròn tại hai điểm A và B .Gọi C là điểm thuộc đường thẳng d sao cho A nằm giữa B và C. Vẽ đường kính PQ vuông góc cói dây AB tại D (P thuộc cung lớn AB). Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I (I khác P) ,AB cắt IQ tại K
1, Cm : tứ giác PDKI nội tiếp
2, Cm: KB.IQ=BQ.BI
3, Cm : IK là đường phân giác trong tam giác AIB và \(\frac{AC}{BC}=\frac{AK}{BK}\)
4, Cho A,B,C cố định còn đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua AB . Cmr đường thẳng IQ luôn đi qua 1 điểm cố định
Cho điểm M nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB =2R (M không trùng với A và B). Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn có bờ là đường thẳng AB , kẻ tiếp tuyến Ax .Đường thẳng BM cắt Ax tại I , tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn O tại E , cắt IB tai F; đường thẳng BE cắt AI tại H , cắt AM tại K
a, Cmr : 4 điểm F,E,K,M cùng nằm trên 1 đường tròn
b, Cm : HF\(\perp\) BI
c, Xác định vị trí của M trên nửa đường tròn O để chu vi tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó theo R ?
