1. Cho a, b, c, d, p, q là 5 số dương tùy ý . Chứng minh
\(\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\ge\frac{3}{p+q}\)
2. Cho a, b, c là ba số dương cho trước, còn x, y, z là ba số dương thay đổi, luôn luôn thỏa mãn điều kiện :
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1\)
Tìm GTLN của tổng S = x + y + z
dcv_new
\(\Sigma\frac{a^2}{pab+qca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(p+q\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{p+q}\)
2, ta có \(\sqrt{a}=\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}\)
vậy ta được \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}+\sqrt{\frac{b}{y}}\cdot\sqrt{y}+\sqrt{\frac{c}{z}}\cdot\sqrt{z}\right)^2\le\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\left(x+y+z\right)=S\)
dấu đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt{x}:\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{y}:\sqrt{\frac{b}{y}}=\sqrt{z}:\sqrt{\frac{c}{z}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1\\\frac{x}{\sqrt{a}}=\frac{y}{\sqrt{b}}=\frac{z}{\sqrt{c}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
vậy min (x+y+z)=\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\)
À nhầm đề 1 tí . Sửa thành a, b, c , p , q
Đánh máy nhanh quá nên nhầm xíu =)
Không mất tính tổng quát giả sử \(\hept{\begin{cases}a\ge b\ge c\\p\ge q\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Chebyshev và Svacxơ có
\(3\left(\frac{a}{pb+qc}+\frac{b}{pc+qa}+\frac{c}{pa+qb}\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{pb+qc}+\frac{1}{pc+qa}+\frac{1}{pa+qb}\right)\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left[\frac{9}{p\left(a+b+c\right)+q\left(a+b+c\right)}\right]=\frac{9}{p+q}\)
Vậy ta có điều phải chứng minh ?
dvc_new
Muốn dùng Chebyshev, với bài của em nghĩa là em phải chỉ ra được:
\(\frac{1}{pb+qc}\ge\frac{1}{pc+qa}\ge\frac{1}{pa+qb}\) ????. Chưa tính được việc g/s bài toán như vậy đã hợp lí chưa?
