Question

1 a)Chứng minh đẳng thức \(\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right).\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)=1-a\)với \(a\ge0\) và \(a\ne1\)

b) Tìm giátrị nhỏ nhất củabiểu thức P=\(\sqrt{x^2+6x+2011}\)

Answer 1

Bài 1:

a) \(\left(1+\frac{a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot\left(1-\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\)

\(=\frac{\sqrt{a}+1+a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\cdot\frac{\sqrt{a}-1-a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\)

\(=\frac{a+2\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+1}\cdot\frac{-a+2\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}-1}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{\sqrt{a}+1}\cdot\frac{-\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}-1}\)

\(=-\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\)

\(=-\left(a-1\right)\)

\(=1-a\)

b) \(P=\sqrt{x^2+6x+2011}\)

\(P=\sqrt{x^2+6x+9+2002}\)

\(P=\sqrt{\left(x+3\right)^2+2002}\ge\sqrt{2002}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-3\)