Câu hỏi của Trịnh Hoàng Đông Giang

Question

1. a. Tìm x,y,z biết x2+4y2= 2xy +1 và z2=2xy -1b. cho x+y+z=1 và$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$Tính Giá trị biểu thức B= x2+y2+z22. Cho x,y khác 0 thỏa mãn x+y=xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của...

Phước Nguyễn · Accepted Answer

Bài  $1a.$  Tìm  $x,y,z$  biết $x^2+4y^2=2xy+1$   $\left(1\right)$  và  $z^2=2xy-1$  $\left(2\right)$Cộng  $\left(1\right)$  và  $\left(2\right)$  vế theo vế, ta được:$x^2+4y^2+z^2=4xy$$\Leftrightarrow$  $x^2-4xy+4y^2+z^2=0$$\Leftrightarrow$  $\left(x-2y\right)^2+z^2=0$Do  $\left(x-2y\right)^2\ge0$  và  $z^2\ge0$  với mọi  $x,y,z$nên để thỏa mãn đẳng thức trên thì phải đồng thời xảy ra  $\left(x-2y\right)^2=0$  và  $z^2=0$$\Leftrightarrow$  $^{x-2y=0}_{z^2=0}$  $\Leftrightarrow$  $^{x=2y}_{z=0}$Từ  $\left(2\right)$, với chú ý rằng  $x=2y$  và  $z=0$, ta suy ra:$2xy-1=0$  $\Leftrightarrow$  $2.\left(2y\right).y-1=0$  $\Leftrightarrow$  $4y^2-1=0$  $\Leftrightarrow$  $y^2=\frac{1}{4}$  $\Leftrightarrow$  $y=\frac{1}{2}$  hoặc  $y=-\frac{1}{2}$$\text{*)}$  Với  $y=\frac{1}{2}$ kết hợp với $z=0$ $\left(cmt\right)$  thì  $\left(2\right)$  $\Rightarrow$  $2.x.\frac{1}{2}-1=0$  $\Leftrightarrow$  $x=1$$\text{*)}$  Tương tự với trường hợp  $y=-\frac{1}{2}$, ta cũng dễ dàng suy ra được $x=-1$Vậy, các cặp số  $x,y,z$  cần tìm là  $\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;\frac{1}{2};0\right),\left(-1;-\frac{1}{2};0\right)\right\}$$b.$  Vì  $x+y+z=1$  nên  $\left(x+y+z\right)^2=1$$\Leftrightarrow$  $x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=1$  $\left(3\right)$Mặt khác, ta lại có  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$  $\Rightarrow$  $xy+yz+xz=0$  $\left(4\right)$ (do  $xyz\ne0$)Do đó,  từ  $\left(3\right)$ và $\left(4\right)$  $\Rightarrow$  $x^2+y^2+z^2=1$Vậy,  $B=1$Câu trả lời: Bài  $1a.$  Tìm  $x,y,z$  biết $x^2+4y^2=2xy+1$   $\left(1\right)$  và  $z^2=2xy-1$  $\left(2\right)$Cộng  $\left(1\right)$  và  $\left(2\right)$  vế theo vế, ta được:$x^2+4y^2+z^2=4xy$$\Leftrightarrow$  $x^2-4xy+4y^2+z^2=0$$\Leftrightarrow$  $\left(x-2y\right)^2+z^2=0$Do  $\left(x-2y\right)^2\ge0$  và  $z^2\ge0$  với mọi  $x,y,z$nên để thỏa mãn đẳng thức trên thì phải đồng thời xảy ra  $\left(x-2y\right)^2=0$  và  $z^2=0$$\Leftrightarrow$  $^{x-2y=0}_{z^2=0}$  $\Leftrightarrow$  $^{x=2y}_{z=0}$Từ  $\left(2\right)$, với chú ý rằng  $x=2y$  và  $z=0$, ta suy ra:$2xy-1=0$  $\Leftrightarrow$  $2.\left(2y\right).y-1=0$  $\Leftrightarrow$  $4y^2-1=0$  $\Leftrightarrow$  $y^2=\frac{1}{4}$  $\Leftrightarrow$  $y=\frac{1}{2}$  hoặc  $y=-\frac{1}{2}$$\text{*)}$  Với  $y=\frac{1}{2}$ kết hợp với $z=0$ $\left(cmt\right)$  thì  $\left(2\right)$  $\Rightarrow$  $2.x.\frac{1}{2}-1=0$  $\Leftrightarrow$  $x=1$$\text{*)}$  Tương tự với trường hợp  $y=-\frac{1}{2}$, ta cũng dễ dàng suy ra được $x=-1$Vậy, các cặp số  $x,y,z$  cần tìm là  $\left(x;y;z\right)=\left\{\left(1;\frac{1}{2};0\right),\left(-1;-\frac{1}{2};0\right)\right\}$$b.$  Vì  $x+y+z=1$  nên  $\left(x+y+z\right)^2=1$$\Leftrightarrow$  $x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+xz\right)=1$  $\left(3\right)$Mặt khác, ta lại có  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$  $\Rightarrow$  $xy+yz+xz=0$  $\left(4\right)$ (do  $xyz\ne0$)Do đó,  từ  $\left(3\right)$ và $\left(4\right)$  $\Rightarrow$  $x^2+y^2+z^2=1$Vậy,  $B=1$

Nguyền Thừa Huyền · Answer

1a) x=1, y=1/2, z=0Câu trả lời: 1a) x=1, y=1/2, z=0

Phước Nguyễn · Answer

Ta có:$A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{x^2+y^2}{\left(xy\right)^2}=\frac{x^2+y^2}{\left(x+y\right)^2}$  (do  $x+y=xy$)  $\left(5\right)$Dễ dàng chứng minh được với mọi  $x,y\in R$, ta luôn có:$\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)$  $\left(\text{*}\right)$Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số  $\left(1^2+1^2\right)$  và  $\left(x^2+y^2\right)$, ta được:$\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(1.x+1.y\right)^2=\left(x+y\right)^2$Do đó,  $2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2$, hay  $\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)$  $\left(đpcm\right)$Vậy, bất đẳng thức $\left(\text{*}\right)$  hiển nhiên đúng với mọi  $x,y\in R$, tức bđt  $\left(\text{*}\right)$  được chứng minh.Dấu  $"="$  xảy ra  $\Leftrightarrow$  $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$  $\Leftrightarrow$  $x=y$  Khi đó,  từ  $\left(\text{*}\right)$  $\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}$  (do  hai vế của bđt  $\left(\text{*}\right)$  cùng dấu  $\left(+\right)$)nên  $\frac{x^2+y^2}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{x^2+y^2}{2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{1}{2}$  (vì  $x^2+y^2>0$  với mọi  $x,y\in R$ và  $x,y\ne0$)  $\left(6\right)$$\left(5\right);$  $\left(6\right)$  $\Rightarrow$  $A\ge\frac{1}{2}$Dấu  $"="$  xảy ra  $\Leftrightarrow$  $^{x+y=xy}_{x=y}$  $\Leftrightarrow$  $x=y=2$Vậy,  GTNN của  $A=\frac{1}{2}$Câu trả lời: Ta có:$A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{x^2+y^2}{\left(xy\right)^2}=\frac{x^2+y^2}{\left(x+y\right)^2}$  (do  $x+y=xy$)  $\left(5\right)$Dễ dàng chứng minh được với mọi  $x,y\in R$, ta luôn có:$\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)$  $\left(\text{*}\right)$Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số  $\left(1^2+1^2\right)$  và  $\left(x^2+y^2\right)$, ta được:$\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(1.x+1.y\right)^2=\left(x+y\right)^2$Do đó,  $2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2$, hay  $\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)$  $\left(đpcm\right)$Vậy, bất đẳng thức $\left(\text{*}\right)$  hiển nhiên đúng với mọi  $x,y\in R$, tức bđt  $\left(\text{*}\right)$  được chứng minh.Dấu  $"="$  xảy ra  $\Leftrightarrow$  $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$  $\Leftrightarrow$  $x=y$  Khi đó,  từ  $\left(\text{*}\right)$  $\Rightarrow$  $\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{1}{2\left(x^2+y^2\right)}$  (do  hai vế của bđt  $\left(\text{*}\right)$  cùng dấu  $\left(+\right)$)nên  $\frac{x^2+y^2}{\left(x+y\right)^2}\ge\frac{x^2+y^2}{2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{1}{2}$  (vì  $x^2+y^2>0$  với mọi  $x,y\in R$ và  $x,y\ne0$)  $\left(6\right)$$\left(5\right);$  $\left(6\right)$  $\Rightarrow$  $A\ge\frac{1}{2}$Dấu  $"="$  xảy ra  $\Leftrightarrow$  $^{x+y=xy}_{x=y}$  $\Leftrightarrow$  $x=y=2$Vậy,  GTNN của  $A=\frac{1}{2}$

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)