Question

1. a. Tìm n để n² + 2006 là một số chính phương.

    b. Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n² + 2006 là số nguyên tố hay hợp số?

Answer 1

1b.

1a

Giả sử n^2 + 2006 = m^2 (m,n la số nguyên)

Suy ra n^2 - m^2 =2006 <=> ( n - m )( n + m ) = 2006

Gọi a = n - m, b = n + m ( a,b cũng là số nguyên)

Vì tích của a và b bằng 2006 la một số chẵn, suy ra trong 2 số a và b phải có ít nhất 1 số chẵn (1)

Mặt khác ta có: a + b = (n - m) + (n + m) = 2n là 1 số chẵn

=> a và b phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ(2) Từ (1) và (2) suy ra a và b đều là số chẵn

Suy ra a = 2k , b= 2l ( với k,l là số nguyên)

Theo như trên ta có a.b = 2006 hay 2k.2l = 2006 hay 4.k.l = 2006

Vì k,l là số nguyên nên suy ra 2006 phải chia hết cho 4 ( điều này vô lý, vì 2006 không chia hết cho 4)

Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài đã cho.(đpcm) 

****