Question

1. a, Chứng minh :     \(10^n\)+ 72n - 1 chia hết 81 ( n thuộc N )

b, Cho x, y thuộc N và 2x + y chia hết 5 . chứng minh :  x+ 3y chia hết 5

Answer 1

a) Ta có: 

\(10^n+72n-1=\left(10^n-1\right)+72n=999...9+72n=9.111...11+72\)

                                                                                                       -------------                                   ----------------

                                                                                                      n chữ số                                      n chữ số 

\(=9\left(111...11-n\right)+9n+72n=9\left(111...11-n\right)+81n\)

             ----------------                                                                 ----------------

              n chữ số                                                                      n chữ số

Vì n là tổng các chữ số của 111...11 nên 111...11-n chia hết cho 9 

                                                  -----------         -----------

                                                    n c/số             n c/số

=> 9(111...11-n) chia hết cho 9.9 hay 9(111...11-n) chia hết cho 81

          ----------                                                ----------

           n c/số                                                  n c/số

Mà 81n chia hết cho 81 nên 9(111...11-n)+81n chia hết cho 81 hay \(10^n+72n-1\) chia hết cho 81

\(\left(n\in N\right)\)

 Vậy \(10^n+72n-1\) chia hết cho 81 \(\left(n\in N\right)\)

Answer 2

b)  Với \(x,y\in N\) ta có:

      3(2x+y)-(x+3y)=6x+3y-x-3y=(6x-x)+(3y-3y)=5x 

Vì 5 chia hết cho 5 nên 5x chia hết cho 5 hay 3(2x+y)+(x+3y) chia hết cho 5                                        \(\left(1\right)\)

Vì 2x+y chia hết cho 5 nên 3(2x+y) chia hết cho 5                                                                                       \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\)=> x+3y chia hết cho 5

               Vậy x+3y chia hết cho 5