$\textbf{a)}$
Vì $AD$ là đường phân giác của $\triangle ABC$ nên
$\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac35.$
=> $\dfrac{DC}{DB}=\dfrac53.$
$\textbf{b)}$
Áp dụng định lí Menelaus cho $\triangle AMD$ với cát tuyến $BIC$:
$\dfrac{AB}{BM}\cdot\dfrac{MI}{IC}\cdot\dfrac{CD}{DB}=1.$
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\dfrac{AB}{BM}=2.$
Lại có $\dfrac{CD}{DB}=\dfrac53.$
=> $2\cdot\dfrac{MI}{IC}\cdot\dfrac53=1$
$\Leftrightarrow\dfrac{MI}{IC}=\dfrac3{10}$
$\Leftrightarrow\dfrac{IC}{IM}=\dfrac{10}{3}.$
$\textbf{c)}$
Từ câu a có $\dfrac{CD}{DB}=\dfrac53.$
Đặt $CD=5k,\ DB=3k\ (k>0).$
Khi đó $CB=CD+DB=8k.$
Vậy $\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{5k}{8k}=\dfrac58.$
