Cho $\triangle ABC$ vuông cân tại $A$ nên: $AB = AC$, $AB \perp AC$
Lại có $Bx // BC$, $Cy // BC$ nên:
$Bx// AC$, $Cy // AB$
a) Chứng minh $\triangle AEB = \triangle ADC$
Xét hai tam giác $AEB$ và $ADC$:
$\widehat{AEB} = 90^\circ$ (do $AE \perp AD$ và $Bx \parallel AC$)
$\widehat{ADC} = 90^\circ$ (do $AD \perp EF$)
$AB = AC$ (giả thiết)
$\widehat{ABE} = \widehat{ACD}$ (so le trong)
Suy ra: $\triangle AEB = \triangle ADC$ (g.c.g)
b) Chứng minh $\triangle EDF$ vuông cân
Từ câu a) suy ra: $AE = AD$
Tương tự chứng minh được: $AF = AD$
=> $AE = AF$
Do đó $\triangle AEF$ cân tại $A$
Mà $AE \perp AD$ nên:
$\widehat{EDF} = 90^\circ$
Vậy $\triangle EDF$ vuông cân.
c) Xác định vị trí $D$ để $S_{\triangle DEF}$ nhỏ nhất
Diện tích $\triangle DEF$ phụ thuộc vào $AD$.
Khi $D$ là trung điểm của $BC$ thì $AD$ nhỏ nhất.
Do đó: $S_{\triangle DEF}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $D$ là trung điểm của $BC$.
d) Chứng minh $P_{ABC} < P_{DEF}$
Ta có: $AB + BC + CA < DE + EF + FD$
Do các cạnh của $\triangle DEF$ lớn hơn tương ứng so với $\triangle ABC$.
=> $P_{ABC} < P_{DEF}$.
