c.
Xét hai tam giác vuông HDB và ADH có:
\(\widehat{HDB}=\widehat{ADH}=90^0\)
\(\widehat{BHD}=\widehat{HAD}\) (cùng phụ \(\widehat{B}\))
\(\Rightarrow\Delta HDB\sim\Delta ADH\)
\(\Rightarrow\dfrac{HD}{DA}=\dfrac{DB}{HD}\Rightarrow HD^2=DA.DB\)
Chứng minh tương tự ta có \(HE^2=EA.EC\)
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông HDE:
\(HD^2+HE^2=DE^2\)
\(\Rightarrow DE^2=DA.DB+EA.EC\) (3)
Từ (2);(3) \(\Rightarrow AH^2=DA.DB+EA.EC\)
d.
Gọi F là giao điểm AI và DE, theo giả thiết \(AF\perp DE\)
\(\Rightarrow\widehat{FAE}=\widehat{ADE}\) (cùng phụ \(\widehat{DEA}\))
Mà \(\widehat{ADE}=\widehat{AHE}\) (t/c hcn)
\(\widehat{AHE}=\widehat{ACH}\) (cùng phụ \(\widehat{HAE}\))
\(\Rightarrow\widehat{FAE}=\widehat{ACH}\) (4)
\(\Rightarrow\Delta IAC\) cân tại I (hai góc đáy bằng nhau)
\(\Rightarrow AI=IC\) (5)
Lại có \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{B}+\widehat{ACH}=90^0\\\widehat{IAB}+\widehat{FAE}=90^0\end{matrix}\right.\) (6)
(4);(6) \(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{IAB}\Rightarrow\Delta IAB\) cân tại I
\(\Rightarrow IA=IB\) (7)
(5);(7) \(\Rightarrow IB=IC\Rightarrow I\) là trung điểm BC
a.
Xét hai tam giác BHA và BAC có:
\(\widehat{B}\) là góc chung
\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta BHA\sim\Delta BAC\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow AH.BC=AB.AC\) (1)
b.
Theo giả thiết \(\left\{{}\begin{matrix}HD\perp AB\\HE\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{HDA}=\widehat{HEA}=90^0\)
lại có \(\widehat{A}=90^0\) (do tam giác ABC vuông tại A)
\(\Rightarrow ADHE\) là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)
\(\Rightarrow DE=AH\) (2 đường chéo hcn) (2)
Áp dụng định lý Pitago:
\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=15\left(cm\right)\)
Từ (1),(2) \(\Rightarrow DE=AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{9.12}{15}=7,2\left(cm\right)\)
