a) Tìm số tự nhiên \( x \) biết: \( (2x+1)^2 = 25 \).
b) Tìm chữ số \( x, y \) sao cho: \( 1x8y2 \) chia hết cho 36.
c) Chứng minh rằng \( M = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2024} : 217 \).
d) Tìm các số nguyên \( x, y \) sao cho: \( xy - 2x - y = -6 \).
---
c) \( C = \frac{2^{10} \cdot 13 + 2^{10} \cdot 65}{2^8 \cdot 104} \)
---
d) \( D = \frac{-1}{20} + \frac{-1}{30} + \frac{-1}{42} + \frac{-1}{56} + \frac{-1}{72} + \frac{-1}{90} \)
---
Câu 5. (2,0 điểm)
a) Người ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa một em, còn nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em. Hỏi lớp 6A có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh?
b) Trong mặt phẳng cho 2025 điểm sao cho cứ 3 điểm bất kì có ít nhất 2 điểm cách nhau một khoảng không vượt quá 1. Chứng minh rằng: tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1 chứa ít nhất 1013 điểm.
a.
\(\left(2x+1\right)^2=25\)
\(\left(2x+1\right)^2=5^2\)
\(2x+1=5\)
`2x=5-1=4`
`x=4:2`
`x=2`
b.
\(\overline{1x8y2}\) chia hết cho 36 nên chia hết cho cả 4 và 9
Do \(\overline{128y2}\) chia hết cho 4 nên \(\overline{y2}\) chia hết cho 4
Suy ra y có thể nhận các giá trị 1, 3, 5, 7, 9
- Với \(y=1\Rightarrow1+x+8+1+2=x+12\) chia hết cho 9
Suy ra `x=6`
- Với `y=3` suy ra `1+x+8+3+2=x+14` chia hết cho 9
Suy ra `x=4`
- Với `y=5` suy ra `x+16` chia hết cho 9
Suy ra `x=2`
- Với `y=7` suy ra `x+18` chia hết cho 9
Suy ra `x=0` hoặc `x=9`
- Với `x=y` suy ra `x+20` chia hết cho 9
Suy ra `x=7`
c.
\(M=1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+...+2^{2022}+2^{2023}+2^{2024}\)
\(=\left(1+2+2^2\right)+2^3.\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2022}.\left(1+2+2^2\right)\)
\(=7+2^3.7+...+2^{2022}.7\)
\(=7.\left(1+2^3+...+2^{2022}\right)\)
Suy ra M chia hết cho 7 (1)
\(M=1+2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2020}+2^{2021}+2^{2022}+2^{2023}+2^{2024}\)
\(=\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{2020}.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)
\(=31+...+31.2^{2020}\)
\(=31.\left(1+...+2^{2020}\right)\)
Suy ra M chia hết cho 31 (2)
Mà 7 và 31 là hai số nguyên tố cùng nhau (3)
Nên từ (1),(2),(3) suy ra M chia hết cho `7.31`
Hay M chia hết cho `217`
d.
\(xy-2x-y=-6\)
\(x.\left(y-2\right)-y+2=-4\)
\(x.\left(y-2\right)-\left(y-2\right)=-4\)
\(\left(x-1\right)\left(y-2\right)=-4\)
Ta có bảng sau:
| x-1 | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
| y-2 | 1 | 2 | 4 | -4 | -2 | -1 |
| x | -3 | -1 | 0 | 2 | 3 | 5 |
| y | 3 | 4 | 6 | -2 | 0 | 1 |
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(-3;3\right);\left(-1;4\right);\left(0;6\right);\left(2;-2\right);\left(3;0\right);\left(5;1\right)\)
