Question

chứng minh

\[
\frac{1}{6} < \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \ldots + \frac{1}{100^2} < \frac{1}{4}
\]

Answer 1

Xét tổng:

S = 1/5² + 1/6² + ... + 1/100²

Ta có:

1/5² < 1/45 1/6² < 1/56 ... 1/100² < 1/99*100

Do đó:

S < 1/45 + 1/56 + ... + 1/99*100

Sử dụng công thức phân tích phân số: 1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)

Ta có:

S < (1/4 - 1/5) + (1/5 - 1/6) + ... + (1/99 - 1/100)

S < 1/4 - 1/100

Vì 1/100 > 0, nên:

S < 1/4

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh S > 1/6

Ta có:

1/5² > 1/56 1/6² > 1/67 ... 1/100² > 1/100*101

Do đó:

S > 1/56 + 1/67 + ... + 1/100*101

S > (1/5 - 1/6) + (1/6 - 1/7) + ... + (1/100 - 1/101)

S > 1/5 - 1/101

S > (101 - 5) / 505

S > 96 / 505

Vì 96/505 > 1/6

Nên S > 1/6

Kết luận:

1/6 < S < 1/4

Vì vậy, bất đẳng thức đã được chứng minh.