\(a^2+b^2+19ab=7\cdot3^n\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+19ab⋮3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+ab⋮3\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2-ab⋮3\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(a+b\right)^2⋮3\\ab⋮3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b⋮3\\ab⋮3\end{matrix}\right.\)
Để a+b chia hết cho 3 ta xét 3 trường hợp
TH1: a và b chia hết cho 3
Gọi a = 3k, b = 3m (k,m nguyên dương)
=> ab = 9km chia hết cho 3 (thoả mãn)
Mà a, b nguyên tố nên a = b = 3 => \(7\cdot3^n=3^2+3^2+19.3.3=189\Rightarrow3^n=27\Rightarrow n=3\)
TH2: a chia 3 dư 1, b chia 3 dư 2
Gọi a = 3k+1, b = 3m+2 (k,m nguyên dương)
=> ab = (3k+1)(3m+2) = 9km + 3m + 6k + 2 chia 3 dư 2 (loại)
TH3: a chia 3 dư 2, b chia 3 dư 1
=> Tương tự TH2 ab cũng chia 3 dư 2 (loại)
Vậy có 1 trường hợp thoả mãn đề bài là a = b = n = 3.
