Question

Bài 2: Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$) và $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.

a) Chứng minh $OA \cdot OD = OB \cdot OC$.

b) Đường thẳng qua $O$ vuông góc với $AB$ cắt $AB$ và $CD$ lần lượt tại $H$ và $K$. Chứng minh $OH \cdot CD = OK \cdot AB$.

Answer 1

a, Xét 2 \(\Delta AOB\) và \(\Delta COD\)

\(\widehat{A_1}=\widehat{C_1}\) ​​(SLT )

\(\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\) (SLT)

⇒ΔAOB \(\sim\) ΔCOD  (gg)

⇒\(\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)​

⇒\(AO.OD=OC.OB \)

b, Xét △OCD và △OEH:

\(\widehat{COD}=\widehat{HOE}\) (đđ)

\(\widehat{OCD}=\widehat{OHE}\) (SLT, CD // AB)

⇒△OCD∼△OEH (g.g)

⇒\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}\)  (1)

ΔAOH và ΔCOK có :

⇒\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{AO}{OC}\) (2)

Từ (1)(2) => \(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{AB}{CD}\)

Hay \(OH.CD=OK.AB\)​

Answer 2