Question

Answer 1

a) 

$A=1+6x-x^2=10-(x^2-6x+9)=10-(x-3)^2$
Vì $(x-3)^2\geq 0$ với mọi $x$ nên $A=10-(x-3)^2\leq 10$

Vậy $A_{\max}=10$. Giá trị này đạt tại $(x-3)^2=0\Leftrightarrow x=3$

b) 

$B=-2x^2+6x+8=\frac{25}{2}-2(x^2-3x+\frac{3^2}{2^2})$

$=\frac{25}{2}-2(x-\frac{3}{2})^2$

$\leq \frac{25}{2}-2.0=\frac{25}{2}$

Vậy $B_{\max}=\frac{25}{2}$. Giá trị này đạt tại $x-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}$

 

Answer 2

c) 

$C=x^2+3y^2-2xy-2y=(x^2+y^2-2xy)+(2y^2-2y)$

$=(x-y)^2+2(y^2-y+\frac{1}{4})-\frac{1}{2}$

$=(x-y)^2+2(y-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{2}$

$\geq 0+2.0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$

Vậy $C_{\min}=-\frac{1}{2}$. Giá trị này đạt tại \(\left\{\begin{matrix} x-y=0\\ y-\frac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

d) 

$D=2x^2+y^2+2xy-2x+2y+2$

$=(x^2+y^2+2xy)+x^2-2x+2y+2$

$=(x+y)^2+2(x+y)+(x^2-4x)+2$

$=(x+y)^2+2(x+y)+1+(x^2-4x+4)-3$

$=(x+y+1)^2+(x-2)^2-3$

$\geq 0+0-3=-3$

Vậy $D_{\min}=-3$. Giá trị này đạt tại \(\left\{\begin{matrix} x+y+1=0\\ x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2\\ y=-3\end{matrix}\right.\)

Answer 3

e) 

$E=x^2+2y^2+9z^2-2x+12y+6z+24$

$=(x^2-2x+1)+2(y^2+6y+9)+(9z^2+6z+1)+4$

$=(x-1)^2+2(y+3)^2+(3z+1)^2+4$

$\geq 0+2.0+0+4=4$

Vậy $E_{\min}=4$. Giá trị này đạt tại \(\left\{\begin{matrix} x-1=0\\ y+3=0\\ 3z+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=-3\\ z=-\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

f) 

\(10x-x^2-30=-5-(x^2-10x+25)=-5-(x-5)^2\leq -5\)

\(\Rightarrow F=\frac{7}{10x-x^2-30}\geq \frac{7}{-5}\)

Vậy $F_{\min}=-\frac{7}{5}$. Giá trị này đạt tại $x-5=0$

$\Leftrightarrow x=5$

 

Answer 4

g)

\(Gx^2+2G=6x+17\)

\(\Leftrightarrow Gx^2-6x+(2G-17)=0\)

Coi đây là pt bậc 2 ẩn $x$.

\(\Delta'=9-G(2G-17)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 2G^2-17G-9\leq 0\Leftrightarrow (G-9)(2G+1)\leq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-1}{2}\leq G\leq 9\)

Vậy \(G_{\max}=9\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\); \(G_{\min}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=-6\)

h) 

\(H=\frac{(x^2+2)(x^2+8)}{x^2}=\frac{x^4+10x^2+16}{x^2}=\frac{(x^4+16)+10x^2}{x^2}\)

\(\geq \frac{2\sqrt{16x^4}+10x^2}{x^2}=\frac{8x^2+10x^2}{x^2}=18\) (theo BĐT Cô-si)

Vậy $H_{\min}=18$ khi $x=\pm 2$

i)

\(I=\frac{3x^2+6x+10}{x^2+2x+3}=\frac{3(x^2+2x+3)+1}{x^2+2x+3}=3+\frac{1}{x^2+2x+3}\)

\(=3+\frac{1}{(x+1)^2+2}\leq 3+\frac{1}{0+2}=\frac{7}{2}\)

Vậy $I_{\max}=\frac{7}{2}$ khi $x=-1$