Đường tròn \(\left(C\right)\) có\(\left\{{}\begin{matrix}I\left(1;2\right)\\R=\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)
Trong tam giác đều,trọng tâm và trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trùng nhau
Có phương trình đường thẳng AI: \(\left\{{}\begin{matrix}quaA\left(0;-1\right)\\vtcp\overrightarrow{AI}\left(1;3\right)\Rightarrow vtpt\overrightarrow{n}\left(3;-1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(AI\right):3x-y-1=0\)
Gọi \(H=AI\cap BC\) \(\Rightarrow\) H là trung điểm của BC
Có \(\overrightarrow{AI}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AH}\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1=\dfrac{2}{3}\left(x_H-0\right)\\3=\dfrac{2}{3}\left(y_H+1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_H=\dfrac{3}{2}\\y_H=\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow H\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}\right)\)
Có pt đường thẳng BC \(\left\{{}\begin{matrix}quaH\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2}\right)\\\perp AI\Rightarrow vtpt\overrightarrow{AI}\left(1;3\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(BC\right):x+3y-12=0\)
Tọa độ B, C là nghiệm của hệ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2x-4y-5=0\\x+3y-12=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-2x-4y-5=0\\x=12-3y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(12-3y\right)^2+y^2-2\left(12-3y\right)-4y-5=0\)
\(\Leftrightarrow10y^2-70y+115=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{7+\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3-3\sqrt{3}}{2}\\y=\dfrac{7-\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow B\left(\dfrac{3-3\sqrt{3}}{2};\dfrac{7+\sqrt{3}}{2}\right)\),\(C\left(\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2};\dfrac{7-\sqrt{3}}{2}\right)\)
hoặc \(B\left(\dfrac{3+3\sqrt{3}}{2};\dfrac{7-\sqrt{3}}{2}\right)\) , \(C\left(\dfrac{3-3\sqrt{3}}{2};\dfrac{7+\sqrt{3}}{2}\right)\)
