a.
Do M là trung điểm AC nên \(MA=MC\)
Xét hai tam giác MAD và MCB có:
\(\left\{{}\begin{matrix}MA=MC\\\widehat{AMD}=\widehat{CMB}\left(\text{đối đỉnh}\right)\\MD=MB\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MAD=\Delta MCB\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow AD=BC\)
b.
Xét hai tam giác MAB và MCD có:
\(\left\{{}\begin{matrix}MA=MC\\\widehat{AMB}=\widehat{CMD}\left(\text{đối đỉnh}\right)\\MB=MD\left(gt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta MAB=\Delta MCD\Rightarrow\widehat{MCD}=\widehat{MAB}\) (1)
Mà tam giác ABC vuông tại A theo giả thiết
\(\Rightarrow\widehat{MAB}=90^0\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{MCD}=90^0\Rightarrow CD\perp AC\)
c.
Do \(AC\perp CD\) (cmt), mà \(BN||AC\Rightarrow BN\perp CD\Rightarrow\Delta BCN\) vuông tại N
Mặt khác cũng do \(BN||AC\Rightarrow\widehat{CBN}=\widehat{BCM}\) (so le trong)
Mà \(\Delta MAD=\Delta MCB\) (theo cm câu a) \(\Rightarrow\widehat{BCM}=\widehat{ADM}\)
\(\Rightarrow\widehat{CBN}=\widehat{ADM}\) hay \(\widehat{CBN}=\widehat{DAC}\)
Xét hai tam giác vuông CBN và DAC có:
\(\left\{{}\begin{matrix}BC=AD\left(cmt\right)\\\widehat{CBN}=\widehat{DAC}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta_{\perp}CBN=\Delta_{\perp}DAC\left(ch-gn\right)\)
\(\Rightarrow CN=CD\)
Theo cm câu b \(\Delta MAB=\Delta MCD\Rightarrow AB=CD\)
\(\Rightarrow CN=AB\)
Xét hai tam giác ABM và CNM có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AB=CN\left(cmt\right)\\\widehat{MAB}=\widehat{MCN}=90^0\\AM=CM\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta CNM\left(c.g.c\right)\)
