Ta có thể viết lại dãy số trên như sau: \(\left(u_n\right):\left\{{}\begin{matrix}u_0=49\\u_1=4489\\u_n=44...48...89\end{matrix}\right.\) (có n+1 chữ số 4, n chữ số 8, 1 chữ số 9.
Khi đó: \(u_n=9+8\left(10+...+10^n\right)+4.\left(10^{n+1}+10^{n+1}+...+10^{2n}+10^{2n+1}\right)\)
\(=9+80.\dfrac{10^n-1}{9}+4.10^{n+1}.\dfrac{10^{n+1}-1}{9}\)
\(=\dfrac{81+8.10^{n+1}-80+4.10^{2n+2}-4.10^{n+1}}{9}\)
\(=\left(\dfrac{2.10^{n+1}+1}{3}\right)^2\)
Dễ thấy \(\dfrac{2.10^{n+1}+1}{3}\in Z^+\), do \(10^{n+1}\equiv1\left(mod3\right)\), do đó \(\left(\dfrac{2.10^{n+1}+1}{3}\right)^2\) là SCP (đpcm).
Đúng 0
Bình luận (0)
