Question

Answer 1

Lời giải:

Do $x+y+z=1, x,y,z\geq 0$ nên $0\leq x, y, z\leq 1$.
Ta sẽ cm $\sqrt{5x+4}\geq x+2(*)$

Thật vậy:

BĐT $(*)\Leftrightarrow 5x+4\geq (x+2)^2$

$\Leftrightarrow 5x+4\geq x^2+4x+4$

$\Leftrightarrow x\geq x^2\Leftrightarrow x(1-x)\geq 0$ (luôn đúng với mọi $0\leq x\leq 1$)

$\Rightarrow$ BĐT $(*)$ luôn đúng.

Hoàn toàn tương tự:

$\sqrt{5y+4}\geq y+2; \sqrt{5z+4}\geq z+2$

Cộng các BĐT trên theo vế và thu gọn:

$\sqrt{5x+4}+\sqrt{5y+4}+\sqrt{5z+4}\geq x+y+z+6=1+6=7$

Vậy $A_{\min}=7$. Giá trị này đạt tại $(x,y,z)=(0,0,1)$ và hoán vị.