\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)
Gọi F là trung điểm AD \(\Rightarrow AF=\dfrac{AD}{2}=a\Rightarrow ABCF\) là hình vuông
\(\Rightarrow CD=\sqrt{CF^2+DF^2}=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow AC^2+CD^2=2a^2+2a^2=4a^2=AD^2\)
\(\Rightarrow\Delta ACD\) vuông tại C \(\Rightarrow DC\perp AC\)
\(SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp DC\)
\(\Rightarrow DC\perp\left(SAC\right)\)
\(\Rightarrow\) sin của góc giữa MN và (SAC) bằng cos góc giữa MN và DC (là góc \(\widehat{MNC}\))
Gọi E là trung điểm AB \(\Rightarrow ME\) là đtb tam giác SAB
\(\Rightarrow ME||SA\Rightarrow ME\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow ME\perp EN\)
\(ME=\dfrac{1}{2}SA=\dfrac{a}{2}\) ; \(EN=\dfrac{AD+BC}{2}=\dfrac{3a}{2}\)
\(\Rightarrow MN=\sqrt{ME^2+EN^2}=\dfrac{a\sqrt{10}}{2}\)
\(CE=\sqrt{EB^2+BC^2}=\sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+a^2}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow CM=\sqrt{CE^2+EM^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)
\(NC=\dfrac{DC}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
Áp dụng định lý hàm cos trong tam giác MNC:
\(cos\widehat{MNC}=\dfrac{MN^2+NC^2-CM^2}{2MN.NC}=\dfrac{3\sqrt{5}}{10}\)
