Hình chữ nhật cơ sở có 4 đỉnh là \(A\left(a;b\right);B\left(-a;b\right);C\left(-a;-b\right);D\left(a;-b\right)\) là miền giới hạn bởi 4 đường thẳng: \(x=-a;x=a;y=-b;y=b\)
Hay mọi điểm \(M\left(x;y\right)\) nằm trong hình chữ nhật cơ sở đều có tính chất: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2< a^2\\y^2< b^2\end{matrix}\right.\)
Bây giờ xét 1 điểm \(M\left(x_M;y_M\right)\) bất kì trên elip (M khác đỉnh)
Do M khác đỉnh \(\Rightarrow x_M\ne0\Rightarrow\dfrac{x_M^2}{a^2}>0\)
\(\Rightarrow\dfrac{y_M^2}{b^2}=1-\dfrac{x_M^2}{a^2}< 1\Rightarrow y_M^2< b^2\)
Tương tự ta có \(y_M\ne0\Rightarrow x_M^2< a^2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M^2< a^2\\y_M^2< b^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\) nằm trong hình chữ nhật cơ sở
Trong trường hợp M là đỉnh elip (elip có 4 đỉnh chỉ cần xét 1 đỉnh, 3 đỉnh còn lại hoàn toàn tương tự), giả sử \(M\left(a;0\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_M=a=\dfrac{x_A+x_D}{2}\\y_M=0=\dfrac{y_A+y_D}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\) là trung điểm của AD (đpcm)
